Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa BC...

Ta có: $\left( P \right)\equiv \left( EBC \right)$
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của BC và $I=AG\cap EF$
Do ABCD là tứ diện đều $\Rightarrow AG\bot \left( BCD \right)\Rightarrow AG\bot FD$
$AG=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{G}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Mặt khác: ABCD là tứ diện đều nên $AF\bot BC\left( AB=AC \right)$ và $DF\bot BC\left( AB=AC \right)$ $\Rightarrow \left( AFD \right)\bot BC\Rightarrow EF\bot BC$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& EF\bot BC \\
& DF\bot BC \\
& \left( P \right)\cap \left( DBC \right)=BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( EBC \right),\left( DBC \right) \right)=\left( EF,DF \right)=\widehat{EFD} $ (vì $ AG\bot FD$).
$\Rightarrow \widehat{EFD}=\alpha $
$IG=FG.\tan \alpha =\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.\dfrac{5\sqrt{2}}{7}=\dfrac{5a\sqrt{6}}{42}$
Dựng $EK//FD,K\in AG$ và đặt $\dfrac{AE}{AD}=x$
Suy ra: $\dfrac{AK}{AG}=x\Rightarrow AK=xAG=x.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
$\dfrac{EK}{GD}=x\Rightarrow \dfrac{EK}{2FG}=x\Rightarrow \dfrac{EK}{FG}=2x\Rightarrow \dfrac{IK}{IG}=2x\Rightarrow IK=2x.IG=2x.\dfrac{5a\sqrt{6}}{42}$
Ta có: $AG=AK+IK+IG\Leftrightarrow \dfrac{a\sqrt{6}}{3}=x.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}+2x.\dfrac{5a\sqrt{6}}{42}+\dfrac{5a\sqrt{6}}{42}\Rightarrow x=\dfrac{3}{8}$
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}=\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3}{5}$.