Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng $(P)$ chứa BC...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng

(P)

chứa BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng

(P)

và

(B C D)

có số đo là

α

thỏa mãn

\tan α = \frac{5 \sqrt{2}}{7}

. Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và BCDE lần lượt là

V_{1}, V_{2}

. Tính tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

.
A.

\frac{3}{8}

B.

\frac{1}{8}

C.

\frac{3}{5}

D.

\frac{5}{8}

Ta có:

(P) \equiv (E B C)

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của BC và

I = A G \cap E F

Do ABCD là tứ diện đều

\Rightarrow A G ⊥ (B C D) \Rightarrow A G ⊥ F D

A G = \sqrt{A D^{2} - D G^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

Mặt khác: ABCD là tứ diện đều nên

A F ⊥ B C (A B = A C)

và

D F ⊥ B C (A B = A C)

\Rightarrow (A F D) ⊥ B C \Rightarrow E F ⊥ B C

Ta có:

{\begin{aligned} E F ⊥ B C \\ D F ⊥ B C \\ (P) \cap (D B C) = B C \end{aligned} \Rightarrow ((E B C), (D B C)) = (E F, D F) = \hat{E F D}

(vì

A G ⊥ F D

).

\Rightarrow \hat{E F D} = α

I G = F G . \tan α = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \frac{5 a \sqrt{6}}{42}

Dựng

E K / / F D, K \in A G

và đặt

\frac{A E}{A D} = x

Suy ra:

\frac{A K}{A G} = x \Rightarrow A K = x A G = x . \frac{a \sqrt{6}}{3}

\frac{E K}{G D} = x \Rightarrow \frac{E K}{2 F G} = x \Rightarrow \frac{E K}{F G} = 2 x \Rightarrow \frac{I K}{I G} = 2 x \Rightarrow I K = 2 x . I G = 2 x . \frac{5 a \sqrt{6}}{42}

Ta có:

A G = A K + I K + I G \Leftrightarrow \frac{a \sqrt{6}}{3} = x . \frac{a \sqrt{6}}{3} + 2 x . \frac{5 a \sqrt{6}}{42} + \frac{5 a \sqrt{6}}{42} \Rightarrow x = \frac{3}{8}

\Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} = \frac{A E}{A D} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5}

.

Đáp án C.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa BC...