Google
Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(BC\text{D})$ bằng 6. Tính thể tích V của tứ diện ABCD.
A. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
B. $V=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$
C. $V=5\sqrt{3}$
D. $V=27\sqrt{3}$
Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a.
Gọi M là trung điểm cạnh CD và G là trọng tâm tam giác BCD.
Ta có
$A{{G}^{2}}+B{{G}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{6}^{2}}+\left( \dfrac{2}{3}B{{M}^{2}} \right)={{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 36+{{\left( \dfrac{2}{3}.a\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow a=3$.
Khi đó ${{S}_{\Delta BC\text{D}}}=\dfrac{54\sqrt{3}}{4}=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích của tứ diện ABCD là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta BC\text{D}}}.AG=\dfrac{1}{3}.\dfrac{27\sqrt{3}}{2}.6=27\sqrt{3}$.
A. $V=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$
B. $V=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$
C. $V=5\sqrt{3}$
D. $V=27\sqrt{3}$
Gọi cạnh của tứ diện đều ABCD là a.
Gọi M là trung điểm cạnh CD và G là trọng tâm tam giác BCD.
Ta có
$A{{G}^{2}}+B{{G}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{6}^{2}}+\left( \dfrac{2}{3}B{{M}^{2}} \right)={{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 36+{{\left( \dfrac{2}{3}.a\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow a=3$.
Khi đó ${{S}_{\Delta BC\text{D}}}=\dfrac{54\sqrt{3}}{4}=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích của tứ diện ABCD là $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta BC\text{D}}}.AG=\dfrac{1}{3}.\dfrac{27\sqrt{3}}{2}.6=27\sqrt{3}$.
Đáp án D.