Cho tứ diện ABCDcó AB= a; AC= BC= AD= BD= $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$...

Phương pháp:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng định lí Cô-\sin trong tam giác: $\cos A=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}$
Cách giải:

Tam giác ABC, ABDlà các tam giác cân tại Cvà Dnên CM⊥ AB, DM⊥ AB.
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
(ABC)\cap (ABD)=AB \$/I]
(ABC)=CM\bot AB\quad \$/I]
(ABD)\supset DM\bot AB \$/I]
\end{array} \right.$$$$\Rightarrow \angle \left( \left( ABC \right);\left( ABD \right) \right)=\angle \left( CM;DM \right)\text{ }=\alpha \text{ }.~$
Gọi Ilà trung điểm của MN.
Kẻ IK⊥ ADmà mặt cầu đường kính MNtiếp xúc với
AD⇒ IK= IM= IN.
Xét ∆ AMIvà ∆ AKIcó:
$\angle AMI=\angle AKI~={{90}^{0}}$
$\begin{align}
& AIchung \\
& M=IK(\text{cmt}) \\
\end{align}$
⇒∆ AMI= ∆ AKI(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
$\Rightarrow AM=AK=\frac{a}{2}$
$\Rightarrow DK=AD-AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{a}{2}=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}$
Chứng minh tương tự ta có $DK=DN\Rightarrow DN=\frac{a(\sqrt{3}-1)}{2}\Rightarrow CD=a(\sqrt{3}-1)$
Ta có: CM⊥ ABnên ∆ ACMvuông tại M, áp dụng định lí Pytago ta có:
$CM=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Tương tự ta tính được DM= $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Áp dụng định lí Cô-\sin trong tam giác MCDcó:
$\cos \angle CMD=\frac{M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2MCMD}$
$=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}+\frac{{{a}^{2}}}{2}-{{a}^{2}}{{(\sqrt{3}-1)}^{2}}}{2\cdot \frac{{{a}^{2}}}{2}}=2\sqrt{3}-3>0$
Vậy $cos\text{ }\alpha \text{ }=\text{ }cos\angle CMD=2\sqrt{3}-3.~$