Cho tứ diện ABCD và M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD và M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho

B C = 4 B M

,

B D = 2 B N

,

A C = 3 A P

. Mặt phẳng

(M N P)

cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng

(M N P)

.
A.

\frac{2}{3}

.
B.

\frac{7}{13}

.
C.

\frac{5}{13}

.
D.

\frac{1}{3}

.

Gọi

I = M N \cap C D, Q = P I \cap A D

.

Kẻ

D H // B C (H \in I M)

và

D K // A C (K \in I P)

.

Δ N M B = Δ N D H \Rightarrow \frac{I D}{I C} = \frac{D H}{C M} = \frac{B M}{C M} = \frac{1}{3}

.

\frac{I K}{I P} = \frac{D K}{C P} = \frac{I D}{I C} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{D K}{2 A P} = \frac{1}{3} \Rightarrow D K = \frac{2}{3}

Δ A P Q Δ D K Q \Rightarrow \frac{A Q}{D Q} = \frac{A P}{D K} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{A Q}{A D} = \frac{3}{5}

.
Đặt

V = V_{A B C D}

.
Ta có:

\frac{V_{A N P Q}}{V_{A N C D}} = \frac{A P}{A C} . \frac{A Q}{A D} = \frac{1}{5}

\frac{V_{A N C D}}{V_{A B C D}} = \frac{V_{D A C N}}{V_{D A B C}} = \frac{D N}{D B} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{A N P Q} = \frac{1}{10} V

.

\frac{V_{C D M P}}{V_{C D B A}} = \frac{C M}{C B} . \frac{C P}{C A} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{C D M P} = \frac{1}{2} V \Rightarrow V_{V . A B M P} = \frac{1}{2} V_{D A B M P} = \frac{1}{2} V - V_{C D M P} = \frac{1}{4} V

\Rightarrow V_{A B M N Q P} = V_{A N P Q} + V_{N . A B M P} = \frac{7}{20} V \Rightarrow \frac{V_{A B M N Q P}}{V_{C D M N Q P}} = \frac{7}{13}

.
Vậy mặt phẳng

(M N P)

chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích

\frac{7}{13}

.

Đáp án B.