Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho $BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN$. Tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng $\left( MNP \right)$ bằng:
A. $\dfrac{7}{13}.$
B. $\dfrac{7}{15}.$
C. $\dfrac{8}{15}.$
D. $\dfrac{8}{13}.$
Trong mặt phẳng $\left( DBC \right)$ vẽ MN cắt CD tại K.
Trong mặt phẳng $\left( ACD \right)$ vẽ PK cắt AD tại Q.
Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta BC\text{D}$, cát tuyến MNK ta có: $\dfrac{KC}{KD}.\dfrac{ND}{NB}.\dfrac{MB}{MC}=1\Rightarrow \dfrac{KC}{KD}=3$.
Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta AC\text{D}$, cát tuyến PQK ta có: $\dfrac{KC}{KD}.\dfrac{QD}{QA}.\dfrac{PA}{PC}=1\Rightarrow \dfrac{QA}{QD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{QA}{AD}=\dfrac{3}{5}.$
Đặt $V={{V}_{ABCD}}$, ta có:
$\dfrac{{{V}_{B.APQ}}}{{{V}_{B.ACD}}}=\dfrac{{{S}_{APQ}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{AP}{AC}.\dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{B.APQ}}=\dfrac{1}{5}{{V}_{B.ACD}}\Rightarrow {{V}_{B.PQDC}}=\dfrac{4}{5}V.$
$\dfrac{{{V}_{P.BMN}}}{{{V}_{P.BCD}}}=\dfrac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{BD}=\dfrac{1}{8}$ và $\dfrac{{{V}_{P.BCD}}}{V}=\dfrac{{{S}_{CPD}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{P.BMN}}=\dfrac{1}{12}V$.
$\dfrac{{{V}_{Q.PBN}}}{{{V}_{Q.PBD}}}=\dfrac{{{S}_{PBN}}}{{{S}_{PBD}}}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{BQPD}}}{V}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{DAP}}}.\dfrac{{{S}_{ADP}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{2}{15}\Rightarrow {{V}_{QPBN}}=\dfrac{1}{15}V$.
Suy ra $\dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{A.BPQ}}+{{V}_{P.BNM}}+{{V}_{Q.PBN}}}{V}=\dfrac{7}{20}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{{{V}_{CD.MNPQ}}}=\dfrac{7}{13}.$
A. $\dfrac{7}{13}.$
B. $\dfrac{7}{15}.$
C. $\dfrac{8}{15}.$
D. $\dfrac{8}{13}.$
Trong mặt phẳng $\left( DBC \right)$ vẽ MN cắt CD tại K.
Trong mặt phẳng $\left( ACD \right)$ vẽ PK cắt AD tại Q.
Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta BC\text{D}$, cát tuyến MNK ta có: $\dfrac{KC}{KD}.\dfrac{ND}{NB}.\dfrac{MB}{MC}=1\Rightarrow \dfrac{KC}{KD}=3$.
Theo định lý Mennelaus cho tam giác $\Delta AC\text{D}$, cát tuyến PQK ta có: $\dfrac{KC}{KD}.\dfrac{QD}{QA}.\dfrac{PA}{PC}=1\Rightarrow \dfrac{QA}{QD}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{QA}{AD}=\dfrac{3}{5}.$
Đặt $V={{V}_{ABCD}}$, ta có:
$\dfrac{{{V}_{B.APQ}}}{{{V}_{B.ACD}}}=\dfrac{{{S}_{APQ}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{AP}{AC}.\dfrac{AQ}{AD}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow {{V}_{B.APQ}}=\dfrac{1}{5}{{V}_{B.ACD}}\Rightarrow {{V}_{B.PQDC}}=\dfrac{4}{5}V.$
$\dfrac{{{V}_{P.BMN}}}{{{V}_{P.BCD}}}=\dfrac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BCD}}}=\dfrac{BM}{BC}.\dfrac{BN}{BD}=\dfrac{1}{8}$ và $\dfrac{{{V}_{P.BCD}}}{V}=\dfrac{{{S}_{CPD}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{CP}{CA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{P.BMN}}=\dfrac{1}{12}V$.
$\dfrac{{{V}_{Q.PBN}}}{{{V}_{Q.PBD}}}=\dfrac{{{S}_{PBN}}}{{{S}_{PBD}}}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{{{V}_{BQPD}}}{V}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{{{S}_{DQP}}}{{{S}_{DAP}}}.\dfrac{{{S}_{ADP}}}{{{S}_{ACD}}}=\dfrac{2}{15}\Rightarrow {{V}_{QPBN}}=\dfrac{1}{15}V$.
Suy ra $\dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{V}=\dfrac{{{V}_{A.BPQ}}+{{V}_{P.BNM}}+{{V}_{Q.PBN}}}{V}=\dfrac{7}{20}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{AB.MNPQ}}}{{{V}_{CD.MNPQ}}}=\dfrac{7}{13}.$
Đáp án A.