Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ${ABCD}$. Hỏi trong không gian có bao nhiêu điểm ${M}$ thỏa mãn điều kiện: các khối tứ diện ${MABC}$, ${MBCD}$, ${MCDA}$, ${MABD}$ có thể tích bằng nhau?
A. ${1}$.
B. ${2}$.
C. ${4}$.
D. ${5}$.
A. ${1}$.
B. ${2}$.
C. ${4}$.
D. ${5}$.
Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}}$ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, BCD, CDA và ABD.
Gọi ${{h}_{1}},{{h}_{2}},h3,{{\text{h}}_{4}}$ lần lượt là khoảng cách từ điểm M xuống các mặt phẳng (ABC); (BCD); (CD1) và (ABD).
Theo giả thiết thể tích các khối tứ diện M ABC, MBCD, MCDA, M ABDbằng nhau nên $\dfrac{1}{3}{{h}_{1}}{{S}_{1}}=\dfrac{1}{3}{{h}_{2}}{{S}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{h}_{3}}{{S}_{3}}=\dfrac{1}{3}{{h}_{4}}{{S}_{4}}\Leftrightarrow {{h}_{1}}{{S}_{1}}={{h}_{2}}{{S}_{2}}={{h}_{3}}{{S}_{4}}={{h}_{4}}S$
Xét hai mặt phẳng (ABC), (BCD), khi đó điểm M phải thỏa mãn ${{h}_{1}}{{S}_{1}}={{h}_{2}}{{S}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\left( 1 \right)$
Từ M dựng $MH\bot \left( BCD \right);MK\bot (ABC$ ), gọi I là hình chiếu H lên BC, dễ thấy KI vuông góc với BC; Ta có $MH=MI.\sin \alpha ;MK=MI.\sin \beta $
Theo (1), ta có: $\dfrac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{MI.\sin \beta }{MI.\sin \alpha }=\dfrac{\sin \beta }{\sin \alpha }\left( 2 \right)$
S MI.sina sin a Do hai mặt phẳng (ABC), (BCD) của tứ diện cố định, nên mặt phẳng phân chia hai
mặt (BCD) và (ABC) thành hai góc $\alpha $, $\beta $ thỏa mãn đẳng thức (2) cũng cố định, do đó tập hợp điểm M thỏa mãn (1) nằm trên mặt phẳng ${{\lambda }_{1}}$ (là mặt phẳng đi qua giao tuyến chung BC và hợp với các mặt (BCD) và (ABC) hai góc $\alpha ,\beta $ tương ứng cố định) hoặc nằm trên mặt phẳng ${{\lambda }_{1}}^{'}$ (vuông góc với mặt phẳng ${{\lambda }_{1}}$ ).
Hoàn toàn tương tự ta xét với các cặp mặt phẳng của hình tứ diện.
Theo tính chất giao tuyến chung của ba mặt phẳng cắt nhau thì đồng quy. Do đó chúng ta có 5 điểm thỏa mãn điều kiện bài toán (Hình vẽ minh họa).
Gọi ${{h}_{1}},{{h}_{2}},h3,{{\text{h}}_{4}}$ lần lượt là khoảng cách từ điểm M xuống các mặt phẳng (ABC); (BCD); (CD1) và (ABD).
Theo giả thiết thể tích các khối tứ diện M ABC, MBCD, MCDA, M ABDbằng nhau nên $\dfrac{1}{3}{{h}_{1}}{{S}_{1}}=\dfrac{1}{3}{{h}_{2}}{{S}_{2}}=\dfrac{1}{3}{{h}_{3}}{{S}_{3}}=\dfrac{1}{3}{{h}_{4}}{{S}_{4}}\Leftrightarrow {{h}_{1}}{{S}_{1}}={{h}_{2}}{{S}_{2}}={{h}_{3}}{{S}_{4}}={{h}_{4}}S$
Xét hai mặt phẳng (ABC), (BCD), khi đó điểm M phải thỏa mãn ${{h}_{1}}{{S}_{1}}={{h}_{2}}{{S}_{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\left( 1 \right)$
Từ M dựng $MH\bot \left( BCD \right);MK\bot (ABC$ ), gọi I là hình chiếu H lên BC, dễ thấy KI vuông góc với BC; Ta có $MH=MI.\sin \alpha ;MK=MI.\sin \beta $
Theo (1), ta có: $\dfrac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{MI.\sin \beta }{MI.\sin \alpha }=\dfrac{\sin \beta }{\sin \alpha }\left( 2 \right)$
S MI.sina sin a Do hai mặt phẳng (ABC), (BCD) của tứ diện cố định, nên mặt phẳng phân chia hai
mặt (BCD) và (ABC) thành hai góc $\alpha $, $\beta $ thỏa mãn đẳng thức (2) cũng cố định, do đó tập hợp điểm M thỏa mãn (1) nằm trên mặt phẳng ${{\lambda }_{1}}$ (là mặt phẳng đi qua giao tuyến chung BC và hợp với các mặt (BCD) và (ABC) hai góc $\alpha ,\beta $ tương ứng cố định) hoặc nằm trên mặt phẳng ${{\lambda }_{1}}^{'}$ (vuông góc với mặt phẳng ${{\lambda }_{1}}$ ).
Hoàn toàn tương tự ta xét với các cặp mặt phẳng của hình tứ diện.
Theo tính chất giao tuyến chung của ba mặt phẳng cắt nhau thì đồng quy. Do đó chúng ta có 5 điểm thỏa mãn điều kiện bài toán (Hình vẽ minh họa).
Đáp án D.