Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Gọi ${{G}_{1}},{{G}_{2}}$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và ACD. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Ba đường thẳng $A{{G}_{1}},B{{G}_{2}}$ và CDđồng quy.
B. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABD)$
C. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}=\dfrac{2}{3}AB$
D. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABC)$
A. Ba đường thẳng $A{{G}_{1}},B{{G}_{2}}$ và CDđồng quy.
B. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABD)$
C. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}=\dfrac{2}{3}AB$
D. ${{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABC)$
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất trọng tâm của hình học phẳng và cách chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a//b \\
b\subset (P)\Rightarrow a//(P) \\
a\not\subset (P) \\
\end{array} \right..$
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của CD ⇒ $\Rightarrow B{{G}_{1}},A{{G}_{2}}$ và CD đồng quy tại M.
Ta có: $\dfrac{M{{G}_{1}}}{MB}=\dfrac{M{{G}_{2}}}{MA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}\|AB$ (định lí Ta-lét đảo).
(do ${{\text{G}}_{\text{1}}}\text{,}{{\text{G}}_{\text{2}}}$ lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD)
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{{{G}_{1}}{{G}_{2}}}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}=\dfrac{1}{3}AB \\
{{G}_{1}}{{G}_{2}}//AB\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABD) \\
{{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABC) \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Sử dụng các tính chất trọng tâm của hình học phẳng và cách chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a//b \\
b\subset (P)\Rightarrow a//(P) \\
a\not\subset (P) \\
\end{array} \right..$
Cách giải:
Gọi M là trung điểm của CD ⇒ $\Rightarrow B{{G}_{1}},A{{G}_{2}}$ và CD đồng quy tại M.
Ta có: $\dfrac{M{{G}_{1}}}{MB}=\dfrac{M{{G}_{2}}}{MA}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}\|AB$ (định lí Ta-lét đảo).
(do ${{\text{G}}_{\text{1}}}\text{,}{{\text{G}}_{\text{2}}}$ lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD)
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{{{G}_{1}}{{G}_{2}}}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{2}}=\dfrac{1}{3}AB \\
{{G}_{1}}{{G}_{2}}//AB\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABD) \\
{{G}_{1}}{{G}_{2}}//(ABC) \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.$
Đáp án C.