Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AB=C\text{D}=a,AC=B\text{D}=b,A\text{D}=BC=c$. Giá trị côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng
A. $\left| \dfrac{3\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}} \right|$
B. $\left| \dfrac{2\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}} \right|$
C. $\left| \dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right|$
D. $\left| \dfrac{3\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}} \right|$
A. $\left| \dfrac{3\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}} \right|$
B. $\left| \dfrac{2\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)}{{{c}^{2}}} \right|$
C. $\left| \dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right|$
D. $\left| \dfrac{3\left( {{a}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}{{{b}^{2}}} \right|$
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& PM\text{ // BD} \\
& PN//AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( B\text{D},AC \right)}=\widehat{\left( PM,PN \right)}$.
Theo công thức tính đường trung tuyến ta có
$C{{M}^{2}}=\dfrac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{4}$.
Tương tự $D{{M}^{2}}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{4}$ nên:
$M{{N}^{2}}=\dfrac{M{{C}^{2}}+M{{\text{D}}^{2}}}{2}-\dfrac{C{{\text{D}}^{2}}}{4}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}$
Áp dụng định lí Cô-sin cho tam giác PMN ta có:
$\cos \widehat{MPN}=\dfrac{P{{M}^{2}}+P{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2PM.PN}=\dfrac{{{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}}{2\left( \dfrac{b}{2} \right)\left( \dfrac{b}{2} \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}$.
Vậy $\cos \widehat{\left( AC,BD \right)}=\left| \dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right|$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& PM\text{ // BD} \\
& PN//AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \widehat{\left( B\text{D},AC \right)}=\widehat{\left( PM,PN \right)}$.
Theo công thức tính đường trung tuyến ta có
$C{{M}^{2}}=\dfrac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{4}$.
Tương tự $D{{M}^{2}}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-{{a}^{2}}}{4}$ nên:
$M{{N}^{2}}=\dfrac{M{{C}^{2}}+M{{\text{D}}^{2}}}{2}-\dfrac{C{{\text{D}}^{2}}}{4}=\dfrac{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}$
Áp dụng định lí Cô-sin cho tam giác PMN ta có:
$\cos \widehat{MPN}=\dfrac{P{{M}^{2}}+P{{N}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2PM.PN}=\dfrac{{{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{b}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}}{2\left( \dfrac{b}{2} \right)\left( \dfrac{b}{2} \right)}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}}$.
Vậy $\cos \widehat{\left( AC,BD \right)}=\left| \dfrac{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right|$.
Đáp án C.