Cho tứ diện ABCD có...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có

A B = C D = a, A C = B D = b, A D = B C = c

. Giá trị côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng
A.

| \frac{3 (b^{2} - a^{2})}{c^{2}} |

B.

| \frac{2 (b^{2} - a^{2})}{c^{2}} |

C.

| \frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}} |

D.

| \frac{3 (a^{2} - c^{2})}{b^{2}} |

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD.
Ta có

{\begin{aligned} P M // BD \\ P N / / A C \end{aligned} \Rightarrow \hat{(B D, A C)} = \hat{(P M, P N)}

.

Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

C M^{2} = \frac{C A^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4}

.
Tương tự

D M^{2} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4}

nên:

M N^{2} = \frac{M C^{2} + M D^{2}}{2} - \frac{C D^{2}}{4} = \frac{2 (b^{2} + c^{2})}{4} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}

Áp dụng định lí Cô-sin cho tam giác PMN ta có:

\cos \hat{M P N} = \frac{P M^{2} + P N^{2} - M N^{2}}{2 P M . P N} = \frac{{(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2}}{2 (\frac{b}{2}) (\frac{b}{2})} = \frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}}

.
Vậy

\cos \hat{(A C, B D)} = | \frac{a^{2} - c^{2}}{b^{2}} |

.

Đáp án C.