Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ vuông tại A, $AB=3a, AC=a$. Mặt phẳng $\left( DBC \right),\left( DAC \right),\left( DAB \right)$ lần lượt tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ các góc ${{90}^{o}}, \alpha ,\beta $ trong đó $\alpha +\beta ={{90}^{o}}$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{13}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{10}$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Kẻ $DH\bot BC$ tại H. Do $\left( DBC \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow DH\bot \left( ABC \right)$
Kẻ $HE\bot AC$ tại E; $HF\bot AB$ tại F. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \alpha =\left( \left( DAC \right),\left( BCD \right) \right)=DEH \\
& \beta =\left( \left( DAB \right),\left( BCD \right) \right)=DFH \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \tan \alpha =\dfrac{DH}{HE} \\
& \cot \beta =\dfrac{HF}{DH} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{h}{x}=\dfrac{y}{h}\Rightarrow h=\sqrt{xy}$
Mà $\dfrac{x}{3a}=\dfrac{a-y}{a}\Rightarrow x=3\left( a-y \right)\Rightarrow h=\sqrt{xy}=\sqrt{3}\sqrt{y\left( a-y \right)}\le \sqrt{3}\dfrac{y+a-y}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow {{h}_{\max }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Suy ra ${{V}_{\max }}=\dfrac{1}{3}{{h}_{\max }}.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{13}$
C. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{10}$
D. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$
Kẻ $DH\bot BC$ tại H. Do $\left( DBC \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow DH\bot \left( ABC \right)$
Kẻ $HE\bot AC$ tại E; $HF\bot AB$ tại F. Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& \alpha =\left( \left( DAC \right),\left( BCD \right) \right)=DEH \\
& \beta =\left( \left( DAB \right),\left( BCD \right) \right)=DFH \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \tan \alpha =\dfrac{DH}{HE} \\
& \cot \beta =\dfrac{HF}{DH} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{h}{x}=\dfrac{y}{h}\Rightarrow h=\sqrt{xy}$
Mà $\dfrac{x}{3a}=\dfrac{a-y}{a}\Rightarrow x=3\left( a-y \right)\Rightarrow h=\sqrt{xy}=\sqrt{3}\sqrt{y\left( a-y \right)}\le \sqrt{3}\dfrac{y+a-y}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow {{h}_{\max }}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Suy ra ${{V}_{\max }}=\dfrac{1}{3}{{h}_{\max }}.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Đáp án A.