Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $\left( ACD \right)\bot \left( BCD \right),AC=AD=BC=BD=a,CD=2x$. Giá trị của $x$ để hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ vuông góc nhau là:
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MC\bot AB \\
& MD\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( ABC \right);\left( ABD \right) \right)=\left( MC;MD \right)$
Gọi $N$ là trung điểm $CD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& NA\bot CD \\
& NB\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( ACD \right);\left( BCD \right) \right)=\left( NA;NB \right)={{90}^{o}}$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-N{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow MC=MD=\sqrt{A{{C}^{2}}-M{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}}$
Để hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ vuông góc thì $MC\bot MD$
$\Leftrightarrow C{{D}^{2}}=M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$.
& MC\bot AB \\
& MD\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( ABC \right);\left( ABD \right) \right)=\left( MC;MD \right)$
Gọi $N$ là trung điểm $CD\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& NA\bot CD \\
& NB\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( \left( ACD \right);\left( BCD \right) \right)=\left( NA;NB \right)={{90}^{o}}$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=N{{A}^{2}}+N{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}-N{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow AB=\sqrt{2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}}$
$\Rightarrow MC=MD=\sqrt{A{{C}^{2}}-M{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}}$
Để hai mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và $\left( ABD \right)$ vuông góc thì $MC\bot MD$
$\Leftrightarrow C{{D}^{2}}=M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=2.\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Đáp án B.