Cho tứ diện ABCD có $\left( ACD \right)\bot \left( BCD...

Gọi H là trung điểm của CD.
Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B
$\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& CD\mathrm{\perp }AH\\ & CD\mathrm{\perp }BH\end{array}\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(ABH\right)\Rightarrow CD\mathrm{\perp }AB$
Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại $C\Rightarrow CE\mathrm{\perp }AB$.
Ta có $\{\begin{array}{rl}& AB\mathrm{\perp }CD\\ & AB\mathrm{\perp }CE\end{array}\Rightarrow AB\mathrm{\perp }\left(CDE\right)\Rightarrow AB\mathrm{\perp }DE$

$\{\begin{array}{rl}& \left(ABC\right)\bigcap \left(ABD\right)=AB\\ & \left(ABC\right)\supset CE\mathrm{\perp }AB\\ & \left(ABD\right)\supset DE\mathrm{\perp }AB\end{array}\Rightarrow \mathrm{\angle }(\left(ABC\right);\left(ABD\right))=\mathrm{\angle }(CE;DE)=\mathrm{\angle }CED={90}^o$
Ta có $\mathrm{\Delta }ABC=\mathrm{\Delta }ADC(c.c.c)\Rightarrow CE=DE\Rightarrow \mathrm{\Delta }CDE$ vuông cân tại E
$\Rightarrow CD=CE\sqrt{2}\iff 2x=CE\sqrt{2}\iff CE=x\sqrt{2}(\ast )$
Xét tam giác vuông CBH có $B{H}^2=B{C}^2-C{H}^2=a^2-x^2$
Xét tam giác vuông ACH có $A{H}^2=A{C}^2-C{H}^2=a^2-x^2$
Xét tam giác vuông ABH có $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=2a^2-2x^2\Rightarrow AE={\displaystyle \frac{\sqrt{2a^2-2x^2}}{2}}$
Xét tam giác vuông ACE có $C{E}^2=A{C}^2-A{E}^2=a^2-{\displaystyle \frac{a^2-x^2}{2}}={\displaystyle \frac{a^2+x^2}{2}}\Rightarrow CE={\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{2}}$
Thay vào (*) ta có ${\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{2}}}=x\sqrt{2}\iff a^2+x^2=4x^2\iff 3x^2=a^2\iff x={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}}.$