Cho tứ diện ABCD có $\left( ACD \right)\bot \left( BCD...

Gọi H là trung điểm của CD.
Do tam giác ACD cân tại A và tam giác BCD cân tại B
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& CD\bot AH \\
& CD\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( ABH \right)\Rightarrow CD\bot AB$
Gọi E là trung điểm của AB, do tam giác ABC cân tại $C\Rightarrow CE\bot AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot CD \\
& AB\bot CE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( CDE \right)\Rightarrow AB\bot DE$

$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\bigcap \left( ABD \right)=AB \\
& \left( ABC \right)\supset CE\bot AB \\
& \left( ABD \right)\supset DE\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( ABC \right);\left( ABD \right) \right)=\angle \left( CE;DE \right)=\angle CED={{90}^{o}}$
Ta có $\Delta ABC=\Delta ADC\left( c.c.c \right)\Rightarrow CE=DE\Rightarrow \Delta CDE$ vuông cân tại E
$\Rightarrow CD=CE\sqrt{2}\Leftrightarrow 2x=CE\sqrt{2}\Leftrightarrow CE=x\sqrt{2} \left( * \right)$
Xét tam giác vuông CBH có $B{{H}^{2}}=B{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{a}^{2}}-{{x}^{2}}$
Xét tam giác vuông ACH có $A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{a}^{2}}-{{x}^{2}}$
Xét tam giác vuông ABH có $A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow AE=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}}}{2}$
Xét tam giác vuông ACE có $C{{E}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{E}^{2}}={{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow CE=\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
Thay vào (*) ta có $\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$