Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết $BC=a,\widehat{BAC}=60{}^\circ ,\widehat{BDC}=30{}^\circ .$ Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
A. $V=\dfrac{\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{54}.$
B. $V=\dfrac{13\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{54}.$
C. $V=\dfrac{13\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
D. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{27}.$
A. $V=\dfrac{\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{54}.$
B. $V=\dfrac{13\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{54}.$
C. $V=\dfrac{13\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
D. $V=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{27}.$
Do $\left( ABC \right)\cap \left( DBC \right)=BC$ và $\left( ABC \right)\bot \left( DBC \right)$ nên theo mô hình 3, ta có:
${{R}_{c}}=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\left( \dfrac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}$ với ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a}{2\sin 60{}^\circ }=\dfrac{a}{\sqrt{3}} \\
& {{R}_{2}}=\dfrac{BC}{2\sin D}=\dfrac{a}{2\sin 30{}^\circ }=a \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow {{R}_{c}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{2} \right)}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R_{c}^{3}=\dfrac{13\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{54}.$
${{R}_{c}}=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\left( \dfrac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}$ với ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{R}_{1}}=\dfrac{BC}{2\sin A}=\dfrac{a}{2\sin 60{}^\circ }=\dfrac{a}{\sqrt{3}} \\
& {{R}_{2}}=\dfrac{BC}{2\sin D}=\dfrac{a}{2\sin 30{}^\circ }=a \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow {{R}_{c}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}-\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{2} \right)}=\dfrac{a\sqrt{39}}{6}\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R_{c}^{3}=\dfrac{13\sqrt{39}\pi {{a}^{3}}}{54}.$
Đáp án B.