Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết

B C = a, \hat{B A C} = 60^{\circ}, \hat{B D C} = 30^{\circ} .

Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
A.

V = \frac{\sqrt{39} π a^{3}}{54} .

B.

V = \frac{13 \sqrt{39} π a^{3}}{54} .

C.

V = \frac{13 \sqrt{39} π a^{3}}{27} .

D.

V = \frac{π a^{3}}{27} .

Do

(A B C) \cap (D B C) = B C

và

(A B C) ⊥ (D B C)

nên theo mô hình 3, ta có:

R_{c} = \sqrt{R_{1}^{2} + R_{2}^{2} - (\frac{B C^{2}}{2})}

với

R_{1}, R_{2}

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC.
Ta có:

{\begin{aligned} R_{1} = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{a}{2 \sin 60^{\circ}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \\ R_{2} = \frac{B C}{2 \sin D} = \frac{a}{2 \sin 30^{\circ}} = a \end{aligned} .

\Rightarrow R_{c} = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} + a^{2} - (\frac{a^{2}}{2})} = \frac{a \sqrt{39}}{6} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R_{c}^{3} = \frac{13 \sqrt{39} π a^{3}}{54} .

Đáp án B.