Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $DA=DB=DC=AC=AB=a,$ $ABC=45{}^\circ $. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $DC.$
A. $60{}^\circ .$
B. $120{}^\circ .$
C. $90{}^\circ .$
D. $30{}^\circ .$
A. $60{}^\circ .$
B. $120{}^\circ .$
C. $90{}^\circ .$
D. $30{}^\circ .$
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, tam giác $BDC$ vuông cân tại $D.$
Ta có $\cos \widehat{\left( AB;DC \right)}=\left| \cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{DC} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC} \right|}{AB.DC}=\dfrac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC} \right|}{{{a}^{2}}}.$
Mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=\left( \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA} \right).\overrightarrow{DC}=0-DA.DC.\cos {{60}^{0}}=-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow \cos \widehat{\left( AB;DC \right)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{\left( AB;DC \right)}={{60}^{0}}.$
Mà $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=\left( \overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA} \right).\overrightarrow{DC}=0-DA.DC.\cos {{60}^{0}}=-\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}$
$\Rightarrow \cos \widehat{\left( AB;DC \right)}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{\left( AB;DC \right)}={{60}^{0}}.$
Đáp án A.