Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = 6 và đôi một vuông góc với nhau. Điểm M thay đổi trong tarn giác ABC. Các đường thẳng đi qua M song song DA, DB, DC theo thứ tự cắt các mặt phẳng (DBC), (DCA), (DAB) lần lượt tại ${{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}$. Tìm thể tích lớn nhất của khối tứ diện $M{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$, khi M thay đổi.
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. 1.
D. $\dfrac{4}{3}.$
A. $\dfrac{1}{3}.$
B. $\dfrac{2}{3}.$
C. 1.
D. $\dfrac{4}{3}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{MBCD}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{d\left( M,\left( BCD \right) \right)}{d\left( A,\left( BCD \right) \right)}=\dfrac{M{{A}_{1}}}{AD}=\dfrac{M{{A}_{1}}}{6}.$
Tương tự $\dfrac{{{V}_{MADC}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{M{{B}_{1}}}{6};\dfrac{{{V}_{MABD}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{M{{C}_{1}}}{6}.$
Suy ra $M{{A}_{1}}+M{{B}_{1}}+M{{C}_{1}}=6$. Mặt khác $M{{A}_{1}};M{{B}_{1}};M{{C}_{1}}$ đôi một vuông góc nên ${{V}_{M{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}M{{A}_{1}}.M{{B}_{1}}.M{{C}_{1}}\le \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{M{{A}_{1}}+M{{B}_{1}}+M{{C}_{1}}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4}{3}.$
Dấu "=" xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Tương tự $\dfrac{{{V}_{MADC}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{M{{B}_{1}}}{6};\dfrac{{{V}_{MABD}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{M{{C}_{1}}}{6}.$
Suy ra $M{{A}_{1}}+M{{B}_{1}}+M{{C}_{1}}=6$. Mặt khác $M{{A}_{1}};M{{B}_{1}};M{{C}_{1}}$ đôi một vuông góc nên ${{V}_{M{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\dfrac{1}{6}M{{A}_{1}}.M{{B}_{1}}.M{{C}_{1}}\le \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{M{{A}_{1}}+M{{B}_{1}}+M{{C}_{1}}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4}{3}.$
Dấu "=" xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC.
Đáp án D.