Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB,AC$ và $AD$ đôi một vuông góc với nhau; $AB=6,AC=7,$ $AD=4.$ Gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm các cạnh $BC,CD,BD$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $AMNP.$
A. $V=\dfrac{7}{2}$
B. $V=7$
C. $V=\dfrac{28}{3}$
D. $V=14$
A. $V=\dfrac{7}{2}$
B. $V=7$
C. $V=\dfrac{28}{3}$
D. $V=14$
Phương pháp:
- Hai khối chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích đáy.
- Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích đáy.
Cách giải:
Hai khối chóp $A.BCD$ và $A.MNP$ có cùng chiều cao là khoảng cách từ $A$ đến $\left( BCD \right)$ nên $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}.$
Dễ thấy tam giác $MNP$ đồng dạng tam giác $DBC$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$
Mà ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}.6.7.4=28.$
Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{4}.28=7.$
- Hai khối chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích đáy.
- Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích đáy.
Cách giải:
Hai khối chóp $A.BCD$ và $A.MNP$ có cùng chiều cao là khoảng cách từ $A$ đến $\left( BCD \right)$ nên $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}.$
Dễ thấy tam giác $MNP$ đồng dạng tam giác $DBC$ theo tỉ số $k=\dfrac{1}{2}$ nên $\dfrac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{\Delta MNP}}}{{{S}_{\Delta BCD}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{1}{4}.$
Mà ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD=\dfrac{1}{6}.6.7.4=28.$
Vậy ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{4}.28=7.$
Đáp án B.