Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có cạnh $AB=2\sqrt{3}$, các cạnh còn lại bằng x. Tìm x để thể tích của khối tứ diện ABCD bằng $2\sqrt{2}$
A. $x=2\sqrt{2}$
B. x = 3
C. $x=\sqrt{3}$
D. $x=\sqrt{5}$
A. $x=2\sqrt{2}$
B. x = 3
C. $x=\sqrt{3}$
D. $x=\sqrt{5}$
Lời giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD $\Rightarrow CD\bot \left( ABM \right)$
Do đó ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}CM.{{S}_{\Delta ABM}}+\dfrac{1}{3}DM.{{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{3}CD.{{S}_{\Delta ABM}}$
Hai tam giác BCD, ACD đều $\Rightarrow BM=AM=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Tam giác BMN vuông tại N $\Rightarrow MN=\sqrt{B{{M}^{2}}-B{{N}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}-3}$
Suy ra diện tích tam giác ABM là ${{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}MN.AB=\dfrac{3}{2}\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
Thể tích tứ diện ABCD là ${{V}_{\Delta ABCD}}=\dfrac{x\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow x=2\sqrt{2}$.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD $\Rightarrow CD\bot \left( ABM \right)$
Do đó ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}CM.{{S}_{\Delta ABM}}+\dfrac{1}{3}DM.{{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{3}CD.{{S}_{\Delta ABM}}$
Hai tam giác BCD, ACD đều $\Rightarrow BM=AM=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}$
Tam giác BMN vuông tại N $\Rightarrow MN=\sqrt{B{{M}^{2}}-B{{N}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3{{x}^{2}}}{4}-3}$
Suy ra diện tích tam giác ABM là ${{S}_{\Delta ABM}}=\dfrac{1}{2}MN.AB=\dfrac{3}{2}\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
Thể tích tứ diện ABCD là ${{V}_{\Delta ABCD}}=\dfrac{x\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow x=2\sqrt{2}$.
Đáp án A.