Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và BCD vuông cân và nằm trong...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và BCD vuông cân và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AB = AC = DB = DC = 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng
A.

a \sqrt{6} .

B.

\frac{a \sqrt{6}}{2} .

C.

\frac{a \sqrt{6}}{3} .

D.

\frac{2 a \sqrt{6}}{3} .

Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BC, AC thì

D H ⊥ (A B C) .

Ta có

B A ⊥ A C, H E / / B A \Rightarrow H E ⊥ C A .

Lại có

A C ⊥ D H

nên

A C ⊥ (D H E) \Rightarrow (D H E) ⊥ (D A C) .

Kẻ

H K ⊥ D E (K \in D E) \Rightarrow H K ⊥ (D A C) .

Tam giác DHE vuông tại H có

D H = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \sqrt{4 a^{2} + 4 a^{2}} = a \sqrt{2}, H E = \frac{1}{2} A B = a .

Áp dụng công thức

\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{D H^{2}} + \frac{1}{H E^{2}}

ta tính được

H K = \frac{a \sqrt{6}}{3} .

Vì H là trung điểm BC nên

d (B, (D A C)) = 2 d (H, (D A C)) = 2 H K = \frac{2 a \sqrt{6}}{3} .

Vậy khoảng cách

d (C, (S A B)) = \frac{3 V}{S_{S A B}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}}{\frac{a^{2} \sqrt{3} \sqrt{13}}{4}} = \frac{6 a}{\sqrt{13}} = \frac{6 \sqrt{13} a}{13} .

Đáp án D.

Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và BCD vuông cân và nằm trong...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page