Cho tứ diện $ABCD$ có $AD\bot \left( ABC \right),AC=AD=2,AB=1$ và $BC=\sqrt{5}.$ Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến mặt phẳng $\left( BCD \right)$.

Phương pháp:
- Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AH\bot BC\left( H\in BC \right),$ trong $\left( ADH \right)$ kẻ $AK\bot DH\left( K\in DH \right),$ chứng minh $d=AK.$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Cách giải:

Trong $\left( ABC \right)$ kẻ $AH\bot BC\left( H\in BC \right),$ trong $\left( ADH \right)$ kẻ $AK\bot DH\left( K\in DH \right),$ ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AH \\
& BC\bot AD\left( AD\bot \left( ABC \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow BC\bot AK$
$\left\{ \begin{aligned}
& AK\bot DH \\
& AK\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AK\bot \left( BCD \right)\Rightarrow d\left( A;\left( BCD \right) \right)=AH$
Xét tam giác $ABC$ ta có $A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}=5=B{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ (định lí Pytago đảo).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{1.2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ADH$ ta có $AK=\dfrac{AD.AH}{\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\dfrac{2.\dfrac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{4+\dfrac{4}{5}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Vậy $d=d\left( A;\left( BCD \right) \right)=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$