Cho tứ diện ABCD có $AD\mathrm{\perp }(ABC),ABC$ có tam giác vuông tại B...

Khối nón $N_1$ được sinh bởi $\mathrm{\Delta }ABC$ khi quay quanh AB có chiều cao $h_1=AB$ và bán kính đáy $R_1=BC$.
Khối nón $N_2$ được sinh bởi $\mathrm{\Delta }ABC$ khi quay quanh AB có chiều cao $h_2=AB$ và bán kính đáy $R_2=AD$.
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của hình nón $\left(N_1\right)$ kẻ đường kính GH//DE. Dễ dàng chứng minh được DEGH là hình thang cân.
Gọi $M=AG\cap BE;N=AH\cap BD;I=AB\cap MN$
Khi đó phần chung giữa hai khối nón $\left(N_1\right)$ và $\left(N_2\right)$ là hai khối nón:
Khối nón $\left(N_3\right)$ đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy $IN\Rightarrow V_3={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .I{N}^2.BI$
Khối nón $\left(N_4\right)$ đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy $IN\Rightarrow V_4={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .I{N}^2.AI$
Thể tích phần chung
$V=V_3+V_4={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .I{N}^2.BI+{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .I{N}^2.AI={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .I{N}^2.(AI+BI)={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .I{N}^2.AB$
Áp dụng định lí Ta-let ta có: ${\displaystyle \frac{MN}{GH}}={\displaystyle \frac{AI}{AB}};{\displaystyle \frac{MN}{DE}}={\displaystyle \frac{BI}{AB}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{MN}{GH}}+{\displaystyle \frac{MN}{DE}}={\displaystyle \frac{AI+BI}{AB}}=1$
$\Rightarrow MN({\displaystyle \frac{1}{2BC}}+{\displaystyle \frac{1}{2AD}})=1\iff MN.({\displaystyle \frac{1}{2.2a}}+{\displaystyle \frac{1}{2.6a}})=1\iff MN=3a$
Dễ thấy I là trung điểm của $MN\Rightarrow IN={\displaystyle \frac{MN}{2}}={\displaystyle \frac{3a}{2}}$
Vậy $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .{\left({\displaystyle \frac{3a}{2}}\right)}^2.2a\sqrt{3}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}\pi a^3}{2}}$