Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AD\bot (ABC), ABC$ có tam giác vuông tại B. Biết $BC=2a,AB=2a\sqrt{3},AD=6a$. Quay tam giác ABC và AB (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
A. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
C. $\dfrac{64\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
D. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
Khối nón ${{N}_{1}}$ được sinh bởi $\Delta ABC$ khi quay quanh AB có chiều cao ${{h}_{1}}=AB$ và bán kính đáy ${{R}_{1}}=BC$.
Khối nón ${{N}_{2}}$ được sinh bởi $\Delta ABC$ khi quay quanh AB có chiều cao ${{h}_{2}}=AB$ và bán kính đáy ${{R}_{2}}=AD$.
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ kẻ đường kính GH//DE. Dễ dàng chứng minh được DEGH là hình thang cân.
Gọi $M=AG\cap BE;N=AH\cap BD; I=AB\cap MN$
Khi đó phần chung giữa hai khối nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ và $\left( {{N}_{2}} \right)$ là hai khối nón:
Khối nón $\left( {{N}_{3}} \right)$ đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy $IN\Rightarrow {{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.BI$
Khối nón $\left( {{N}_{4}} \right)$ đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy $IN\Rightarrow {{V}_{4}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.AI$
Thể tích phần chung
$V={{V}_{3}}+{{V}_{4}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.BI+\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.AI=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.(AI+BI)=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.AB$
Áp dụng định lí Ta-let ta có: $\dfrac{MN}{GH}=\dfrac{AI}{AB};\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{BI}{AB}\Rightarrow \dfrac{MN}{GH}+\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{AI+BI}{AB}=1$
$\Rightarrow MN\left( \dfrac{1}{2BC}+\dfrac{1}{2AD} \right)=1\Leftrightarrow MN.\left( \dfrac{1}{2.2a}+\dfrac{1}{2.6a} \right)=1\Leftrightarrow MN=3a$
Dễ thấy I là trung điểm của $MN\Rightarrow IN=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{3a}{2}$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}.2a\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$
A. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
C. $\dfrac{64\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
D. $\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}.$
Khối nón ${{N}_{1}}$ được sinh bởi $\Delta ABC$ khi quay quanh AB có chiều cao ${{h}_{1}}=AB$ và bán kính đáy ${{R}_{1}}=BC$.
Khối nón ${{N}_{2}}$ được sinh bởi $\Delta ABC$ khi quay quanh AB có chiều cao ${{h}_{2}}=AB$ và bán kính đáy ${{R}_{2}}=AD$.
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ kẻ đường kính GH//DE. Dễ dàng chứng minh được DEGH là hình thang cân.
Gọi $M=AG\cap BE;N=AH\cap BD; I=AB\cap MN$
Khi đó phần chung giữa hai khối nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ và $\left( {{N}_{2}} \right)$ là hai khối nón:
Khối nón $\left( {{N}_{3}} \right)$ đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy $IN\Rightarrow {{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.BI$
Khối nón $\left( {{N}_{4}} \right)$ đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy $IN\Rightarrow {{V}_{4}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.AI$
Thể tích phần chung
$V={{V}_{3}}+{{V}_{4}}=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.BI+\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.AI=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.(AI+BI)=\dfrac{1}{3}\pi .I{{N}^{2}}.AB$
Áp dụng định lí Ta-let ta có: $\dfrac{MN}{GH}=\dfrac{AI}{AB};\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{BI}{AB}\Rightarrow \dfrac{MN}{GH}+\dfrac{MN}{DE}=\dfrac{AI+BI}{AB}=1$
$\Rightarrow MN\left( \dfrac{1}{2BC}+\dfrac{1}{2AD} \right)=1\Leftrightarrow MN.\left( \dfrac{1}{2.2a}+\dfrac{1}{2.6a} \right)=1\Leftrightarrow MN=3a$
Dễ thấy I là trung điểm của $MN\Rightarrow IN=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{3a}{2}$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}.2a\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{2}$
Đáp án B.