Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=x$, $AC=BD=y$, $AD=BC=2\sqrt{3}$. Bán kính khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng $\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của xy bằng
A. 2.
B. 4.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
A. 2.
B. 4.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}{8}}$
Khi đó $\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{8}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ mà $xy\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}=\dfrac{4}{2}=2$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\sqrt{2}$. Vậy $x{{y}_{\max }}=2$.
Khi đó $\sqrt{\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{8}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ mà $xy\le \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}=\dfrac{4}{2}=2$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\sqrt{2}$. Vậy $x{{y}_{\max }}=2$.
Đáp án A.