Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=11m,BC=AD=20m,BD=AC=21m.$ Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
A. $770 {{m}^{3}}.$
B. $340 {{m}^{3}}.$
C. $720 {{m}^{3}}.$
D. $360 {{m}^{3}}.$
Dựng hình hộp chữ nhật AMCN.PBQD như hình bên.
Khi đó: tứ diện ABCD thỏa mãn
$AB=CD=11m;BC=AD=20m;BD=AC=21m.$
Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là m, n, p.
Gọi $y=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$
Ta có: ${{V}_{PADB}}={{V}_{MABC}}={{V}_{QBCD}}={{V}_{NACD}}=\dfrac{1}{3}.ND.{{S}_{ACN}}$
$=\dfrac{1}{3}.ND.\dfrac{1}{2}.AN.NC=\dfrac{1}{6}.ND.NA.NC=\dfrac{1}{6}.m.n.p=\dfrac{1}{6}.V{{A}_{MCN.PBQD}}$
Suy ra ${{V}_{PADB}}+{{V}_{MABC}}+{{V}_{QBCD}}+{{V}_{NACD}}=\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V=\dfrac{2}{3}V.$
Mà ${{V}_{PADB}}+{{V}_{MABC}}+{{V}_{QBCD}}+{{V}_{NACD}}+{{V}_{ABCD}}=V$
Suy ra: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}V=m.n.p$
Xét các tam giác vuông APB; APD; PDB, theo định lý Pytago ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=B{{D}^{2}} \\
& {{m}^{2}}+{{p}^{2}}=A{{D}^{2}} \\
& {{p}^{2}}+{{n}^{2}}=A{{B}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{21}^{2}} \\
& {{m}^{2}}+{{p}^{2}}={{20}^{2}} \\
& {{p}^{2}}+{{n}^{2}}={{11}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}=481 \\
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{21}^{2}} \\
& {{m}^{2}}+{{p}^{2}}={{20}^{2}} \\
& {{p}^{2}}+{{n}^{2}}={{11}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=6\sqrt{10} \\
& n=9 \\
& p=2\sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}m.n.p=\dfrac{1}{3}.6\sqrt{10}.9.2\sqrt{10}=360{{m}^{3}}$
A. $770 {{m}^{3}}.$
B. $340 {{m}^{3}}.$
C. $720 {{m}^{3}}.$
D. $360 {{m}^{3}}.$
Dựng hình hộp chữ nhật AMCN.PBQD như hình bên.
Khi đó: tứ diện ABCD thỏa mãn
$AB=CD=11m;BC=AD=20m;BD=AC=21m.$
Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là m, n, p.
Gọi $y=f\left( {{m}^{2}}+4m+4 \right)$
Ta có: ${{V}_{PADB}}={{V}_{MABC}}={{V}_{QBCD}}={{V}_{NACD}}=\dfrac{1}{3}.ND.{{S}_{ACN}}$
$=\dfrac{1}{3}.ND.\dfrac{1}{2}.AN.NC=\dfrac{1}{6}.ND.NA.NC=\dfrac{1}{6}.m.n.p=\dfrac{1}{6}.V{{A}_{MCN.PBQD}}$
Suy ra ${{V}_{PADB}}+{{V}_{MABC}}+{{V}_{QBCD}}+{{V}_{NACD}}=\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V+\dfrac{1}{6}V=\dfrac{2}{3}V.$
Mà ${{V}_{PADB}}+{{V}_{MABC}}+{{V}_{QBCD}}+{{V}_{NACD}}+{{V}_{ABCD}}=V$
Suy ra: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}V=m.n.p$
Xét các tam giác vuông APB; APD; PDB, theo định lý Pytago ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=B{{D}^{2}} \\
& {{m}^{2}}+{{p}^{2}}=A{{D}^{2}} \\
& {{p}^{2}}+{{n}^{2}}=A{{B}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{21}^{2}} \\
& {{m}^{2}}+{{p}^{2}}={{20}^{2}} \\
& {{p}^{2}}+{{n}^{2}}={{11}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}=481 \\
& {{m}^{2}}+{{n}^{2}}={{21}^{2}} \\
& {{m}^{2}}+{{p}^{2}}={{20}^{2}} \\
& {{p}^{2}}+{{n}^{2}}={{11}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=6\sqrt{10} \\
& n=9 \\
& p=2\sqrt{10} \\
\end{aligned} \right.$
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}m.n.p=\dfrac{1}{3}.6\sqrt{10}.9.2\sqrt{10}=360{{m}^{3}}$
| Đối với tứ diện gần đều ABCD có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ thì ta có công thức thể tích ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6\sqrt{2}}\sqrt{\left( -{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}.$ |
Đáp án D.