Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=11m,BC=AD=20m,BD=AC=21m.$ Tính thể tích...

Dựng hình hộp chữ nhật AMCN.PBQD như hình bên.
Khi đó: tứ diện ABCD thỏa mãn
$AB=CD=11m;BC=AD=20m;BD=AC=21m.$
Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là m, n, p.
Gọi $y=f(m^2+4m+4)$
Ta có: $V_{PADB}=V_{MABC}=V_{QBCD}=V_{NACD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.ND.S_{ACN}$
$={\displaystyle \frac{1}{3}}.ND.{\displaystyle \frac{1}{2}}.AN.NC={\displaystyle \frac{1}{6}}.ND.NA.NC={\displaystyle \frac{1}{6}}.m.n.p={\displaystyle \frac{1}{6}}.V{A}_{MCN.PBQD}$

Suy ra $V_{PADB}+V_{MABC}+V_{QBCD}+V_{NACD}={\displaystyle \frac{1}{6}}V+{\displaystyle \frac{1}{6}}V+{\displaystyle \frac{1}{6}}V+{\displaystyle \frac{1}{6}}V={\displaystyle \frac{2}{3}}V.$
Mà $V_{PADB}+V_{MABC}+V_{QBCD}+V_{NACD}+V_{ABCD}=V$
Suy ra: $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}V=m.n.p$
Xét các tam giác vuông APB; APD; PDB, theo định lý Pytago ta có:
$\{\begin{array}{rl}& m^2+n^2=B{D}^2\\ & m^2+p^2=A{D}^2\\ & p^2+n^2=A{B}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2+n^2={21}^2\\ & m^2+p^2={20}^2\\ & p^2+n^2={11}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m^2+n^2+p^2=481\\ & m^2+n^2={21}^2\\ & m^2+p^2={20}^2\\ & p^2+n^2={11}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m=6\sqrt{10}\\ & n=9\\ & p=2\sqrt{10}\end{array}$
$V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}m.n.p={\displaystyle \frac{1}{3}}.6\sqrt{10}.9.2\sqrt{10}=360m^3$