Cho tứ diện ABCD có AB = AC = BD = CD = 1. Khi thể tích khối tứ...

Đặt BC = x, AD = y (x, y > 0) .
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và AD.
Do các tam giác ∆ABC và ∆DBC cân tại A và D nên
$AH\bot BC,DH\bot BC$
$\Rightarrow BC\bot \left( ADH \right)\Rightarrow BC\bot HK$
Lại do các tam giác ∆ABC = ∆DBC nên:
AH = DH $\Rightarrow HK\bot AD$ hay $HK=d\left( AD,BC \right)$.
Ta có: $AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}=\dfrac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{2}$
$\Rightarrow HK=\sqrt{A{{H}^{2}}-A{{K}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{2}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta HAC}}=\dfrac{1}{2}HK.AD$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.BC.{{S}_{\Delta HAD}}=\dfrac{1}{3}.BC.\dfrac{1}{2}.HK.AD=\dfrac{1}{12}.x.y.\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$
Áp dụng BĐT AM – GM ta có:
${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{12}.x.y.\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}=\dfrac{1}{12}.\sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( 4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}\le \dfrac{1}{12}\sqrt{{{\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{3} \right)}^{3}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{27}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}=4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Do đó: ${{V}_{\max }}=\dfrac{2\sqrt{3}}{27}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Khi đó: $HK=\dfrac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Vậy $d\left( AD,BC \right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Định lý Pytago: ∆ABC vuông tại A có AB = c; BC = a; CA = b thì
${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
Bất đẳng thức AM - GM: Với 3 số x; y; z không âm ta có:
$x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$.