Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=3a, AC=4a, AD=5a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB,DBC, DCA$. Tính thể tích $V$ của tứ diện $DMNP$ khi thể tích của tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $V=\dfrac{20{{a}^{3}}}{27}$
B. $V=\dfrac{80{{a}^{3}}}{27}$
C. $V=\dfrac{120{{a}^{3}}}{27}$
D. $V=\dfrac{10{{a}^{3}}}{27}$
Gọi $H,I,K$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CA$, $E$ là hình chiếu vuông góc của $D$ xuống mặt đáy $(ABC)$.
+ Ta xét tỉ số thể tích của 2 khối chóp $D.MNP$ và $D.HIK$ :
$\dfrac{{{V}_{DMNP}}}{{{V}_{DHIK}}}=\dfrac{DM}{DH}.\dfrac{DN}{DI}.\dfrac{DP}{DK}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}$ $\Rightarrow {{V}_{DMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{DHIK}}$.
Mặt khác: ${{V}_{DHIK}}=\dfrac{1}{3}DE.{{S}_{\Delta HIK}}=\dfrac{1}{3}DE.\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{DABC}}$.
+ ${{V}_{DABC}}=\dfrac{1}{3}DE.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}. DE\le \dfrac{1}{6}.AB.AC.DE=\dfrac{1}{6}.AB.AC.AD.\sin \widehat{DAE}$.
$\Rightarrow {{V}_{DABC}}\le \dfrac{1}{6}.AB.AC.DA$. Dấu "=" xảy ra khi:$\left\{ \begin{aligned}
& \sin \widehat{BAC}=1 \\
& \sin \widehat{DAE}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& DE\equiv DA \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: ${{({{V}_{DABC}})}_{ma x}}=\dfrac{1}{6}.AB.AC.DA=\dfrac{1}{6}.3a.4a.5a=10{{a}^{3}}$.
Vậy: ${{V}_{DMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{DHIK}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{1}{4}{{V}_{DABC}}=\dfrac{20{{a}^{3}}}{27}$.
A. $V=\dfrac{20{{a}^{3}}}{27}$
B. $V=\dfrac{80{{a}^{3}}}{27}$
C. $V=\dfrac{120{{a}^{3}}}{27}$
D. $V=\dfrac{10{{a}^{3}}}{27}$
+ Ta xét tỉ số thể tích của 2 khối chóp $D.MNP$ và $D.HIK$ :
$\dfrac{{{V}_{DMNP}}}{{{V}_{DHIK}}}=\dfrac{DM}{DH}.\dfrac{DN}{DI}.\dfrac{DP}{DK}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{8}{27}$ $\Rightarrow {{V}_{DMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{DHIK}}$.
Mặt khác: ${{V}_{DHIK}}=\dfrac{1}{3}DE.{{S}_{\Delta HIK}}=\dfrac{1}{3}DE.\dfrac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{DABC}}$.
+ ${{V}_{DABC}}=\dfrac{1}{3}DE.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{BAC}. DE\le \dfrac{1}{6}.AB.AC.DE=\dfrac{1}{6}.AB.AC.AD.\sin \widehat{DAE}$.
$\Rightarrow {{V}_{DABC}}\le \dfrac{1}{6}.AB.AC.DA$. Dấu "=" xảy ra khi:$\left\{ \begin{aligned}
& \sin \widehat{BAC}=1 \\
& \sin \widehat{DAE}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AC \\
& DE\equiv DA \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó: ${{({{V}_{DABC}})}_{ma x}}=\dfrac{1}{6}.AB.AC.DA=\dfrac{1}{6}.3a.4a.5a=10{{a}^{3}}$.
Vậy: ${{V}_{DMNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{DHIK}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{1}{4}{{V}_{DABC}}=\dfrac{20{{a}^{3}}}{27}$.
Đáp án A.