Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=3a,AC=4a,AD=5a.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB,$ $DBC,$ $DCA.$ Tính thể tích V của tứ diện $DMNP$ khi thể tích tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $V=\dfrac{120{{a}^{3}}}{27}$.
B. $\text{V=}\dfrac{10{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\text{V=}\dfrac{80{{a}^{3}}}{7}$.
D. $\text{V=}\dfrac{20{{a}^{3}}}{27}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{D.MNP}}}{{{V}_{D.HIK}}}=\dfrac{DM}{DH}.\dfrac{DN}{DI}.\dfrac{DP}{DK}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}\Rightarrow {{V}_{D.MNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{D.HIK}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{1}{4}{{V}_{D.ABC}}=\dfrac{2}{27}.{{V}_{D.ABC}}$
Ta có: ${{V}_{D.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.sinA.DE\le \dfrac{1}{6}AB.AC.DE$
( $DE$ là đường cao của hình chóp $D.ABC$ )
Dấu bằng xảy ra khi: $DA=DE$ và $ $ BAC=900
Suy ra: ${{V}_{D.ABC{}_{MAX}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.DA=\dfrac{1}{6}.3a.4a.5a=10{{a}^{3}}$
Vậy ${{V}_{D.MNP}}=\dfrac{2}{27}.10{{a}^{3}}=\dfrac{20}{27}{{a}^{3}}$ $$.
A. $V=\dfrac{120{{a}^{3}}}{27}$.
B. $\text{V=}\dfrac{10{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\text{V=}\dfrac{80{{a}^{3}}}{7}$.
D. $\text{V=}\dfrac{20{{a}^{3}}}{27}.$
Ta có: $\dfrac{{{V}_{D.MNP}}}{{{V}_{D.HIK}}}=\dfrac{DM}{DH}.\dfrac{DN}{DI}.\dfrac{DP}{DK}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{3}}\Rightarrow {{V}_{D.MNP}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{D.HIK}}=\dfrac{8}{27}.\dfrac{1}{4}{{V}_{D.ABC}}=\dfrac{2}{27}.{{V}_{D.ABC}}$
Ta có: ${{V}_{D.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SH=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.sinA.DE\le \dfrac{1}{6}AB.AC.DE$
( $DE$ là đường cao của hình chóp $D.ABC$ )
Dấu bằng xảy ra khi: $DA=DE$ và $ $ BAC=900
Suy ra: ${{V}_{D.ABC{}_{MAX}}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AB.AC.DA=\dfrac{1}{6}.3a.4a.5a=10{{a}^{3}}$
Vậy ${{V}_{D.MNP}}=\dfrac{2}{27}.10{{a}^{3}}=\dfrac{20}{27}{{a}^{3}}$ $$.
Đáp án D.