Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=3,AC=6,AD=9$...

Áp dụng công thức ta có: $V_{ABCD}={\displaystyle \frac{1}{6}}.3.6.9.\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{27\sqrt{2}}{2}}$.
Cách 2:
Trên các cạnh $AC,AD$ lần lượt lấy $E,F$ sao cho $AE=AF=3$.
Áp dụng định lí côsin vào các tam giác $ABE,AEF,ABF$ ta tính được: $BE=3,EF=3\sqrt{2},BF=3\sqrt{3}$. Từ đó suy ra: $\mathrm{\Delta }BEF$ vuông tại $E$.
Hình chóp $A.BEF$ có: $AB=AE=AF=3$ và $\mathrm{\Delta }BEF$ vuông tại $B$. Nên: $AH\mathrm{\perp }\left(BEF\right)$ với $H$ là trung điểm $BF$.
Ta có: $AH=AB.\sin 30{}^{\circ }={\displaystyle \frac{3}{2}}$ và $S_{BEF}={\displaystyle \frac{1}{2}}EB.EF={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{2}}$.
Từ đó: $V_{A.BEF}={\displaystyle \frac{1}{3}}.AH.S_{BEF}={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{4}}$.
Có: ${\displaystyle \frac{V_{A.BEF}}{V_{A.BCD}}}={\displaystyle \frac{AE}{AC}}.{\displaystyle \frac{AF}{AD}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\Rightarrow V_{A.BCD}=6.V_{A.BEF}={\displaystyle \frac{27\sqrt{2}}{2}}$.