Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=3, AC=6, AD=9$, $\widehat{BAC}={{60}^{o}},$ $\widehat{CAD}={{90}^{o}},$ $\widehat{BAD}={{120}^{o}}$. Thể tích của khối tứ diện $ABCD$ bằng.
A. $\dfrac{27\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$.
C. $9\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{6}$.
Áp dụng công thức ta có: ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{6}.3.6.9.\sqrt{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{27\sqrt{2}}{2}$.
Cách 2:
Trên các cạnh $AC,AD$ lần lượt lấy $E,F$ sao cho $AE=AF=3$.
Áp dụng định lí côsin vào các tam giác $ABE,AEF,ABF$ ta tính được: $BE=3,EF=3\sqrt{2},BF=3\sqrt{3}$. Từ đó suy ra: $\Delta BEF$ vuông tại $E$.
Hình chóp $A.BEF$ có: $AB=AE=AF=3$ và $\Delta BEF$ vuông tại $B$. Nên: $AH\bot \left( BEF \right)$ với $H$ là trung điểm $BF$.
Ta có: $AH=AB.\sin 30{}^\circ =\dfrac{3}{2}$ và ${{S}_{BEF}}=\dfrac{1}{2}EB.EF=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$.
Từ đó: ${{V}_{A.BEF}}=\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BEF}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$.
Có: $\dfrac{{{V}_{A.BEF}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{A.BCD}}=6.{{V}_{A.BEF}}=\dfrac{27\sqrt{2}}{2}$.
A. $\dfrac{27\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$.
C. $9\sqrt{2}$.
D. $6\sqrt{6}$.
Cách 2:
Áp dụng định lí côsin vào các tam giác $ABE,AEF,ABF$ ta tính được: $BE=3,EF=3\sqrt{2},BF=3\sqrt{3}$. Từ đó suy ra: $\Delta BEF$ vuông tại $E$.
Hình chóp $A.BEF$ có: $AB=AE=AF=3$ và $\Delta BEF$ vuông tại $B$. Nên: $AH\bot \left( BEF \right)$ với $H$ là trung điểm $BF$.
Ta có: $AH=AB.\sin 30{}^\circ =\dfrac{3}{2}$ và ${{S}_{BEF}}=\dfrac{1}{2}EB.EF=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$.
Từ đó: ${{V}_{A.BEF}}=\dfrac{1}{3}.AH.{{S}_{BEF}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$.
Có: $\dfrac{{{V}_{A.BEF}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{A.BCD}}=6.{{V}_{A.BEF}}=\dfrac{27\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.