Cho tứ diện ABCD có $A\left( 4;1;1 \right), B\left( 1;4;1 \right)...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có

A (4; 1; 1), B (1; 4; 1), C (1; 1; - 2), D (1; 1; 1)

. Tổng ba tọa độ của tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD là
A. 0
B. 5
C.

\frac{5}{2}

D.

\frac{9}{2}

Gọi

I (a; b; c)

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Ta có

{\begin{aligned} I A = I B \\ I A = I C \\ I A = I D \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} {(a - 4)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 4)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \\ {(a - 4)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c + 2)}^{2} \\ {(a - 4)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a - b = 0 \\ a + c = 2 \\ 2 a - 5 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = \frac{5}{2} \\ b = \frac{5}{2} \\ c = - \frac{1}{2} \end{aligned}

Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

I (\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; - \frac{1}{2})

Đáp án D.