Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD có $A\left( 4;1;1 \right), B\left( 1;4;1 \right), C\left( 1;1;-2 \right), D\left( 1;1;1 \right)$. Tổng ba tọa độ của tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD là
A. 0
B. 5
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $\dfrac{9}{2}$
A. 0
B. 5
C. $\dfrac{5}{2}$
D. $\dfrac{9}{2}$
Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& IA=IC \\
& IA=ID \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}} \\
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-b=0 \\
& a+c=2 \\
& 2a-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{5}{2} \\
& b=\dfrac{5}{2} \\
& c=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $I\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& IA=IC \\
& IA=ID \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}} \\
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-b=0 \\
& a+c=2 \\
& 2a-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{5}{2} \\
& b=\dfrac{5}{2} \\
& c=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $I\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};-\dfrac{1}{2} \right)$
Đáp án D.