Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính cos của góc giữa hai đường thẳng AB và DM.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{1}{2}$
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó, $AB\text{ // MN}$ nên $(DM,AB)=(DM,MN)$
Dễ dàng tính được $DM=DN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $MN=\dfrac{a}{2}$
Trong tam giác DMN, ta có:
$\cos \widehat{DMN}=\dfrac{D{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-D{{N}^{2}}}{2DM.MN}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vì $\cos \widehat{DMN}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}>0$ nên $\cos (DM,MN)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $\cos (DM,AB)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
C. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\dfrac{1}{2}$
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó, $AB\text{ // MN}$ nên $(DM,AB)=(DM,MN)$
Dễ dàng tính được $DM=DN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $MN=\dfrac{a}{2}$
Trong tam giác DMN, ta có:
$\cos \widehat{DMN}=\dfrac{D{{M}^{2}}+M{{N}^{2}}-D{{N}^{2}}}{2DM.MN}=\dfrac{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vì $\cos \widehat{DMN}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}>0$ nên $\cos (DM,MN)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Vậy $\cos (DM,AB)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án B.