Google
Câu hỏi: Cho tứ diện $A B C D$ có $A B=a, A C=a \sqrt{2}, A D=a \sqrt{3}$. Các tam giác $A B C, A C D, A B D$ là các tam giác vuông tại điểm $A$. Khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến $m p(B C D)$ là
A. $d=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
B. $d=\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
C. $d=\dfrac{a \sqrt{30}}{5}$.
D. $d=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
A. $d=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
B. $d=\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
C. $d=\dfrac{a \sqrt{30}}{5}$.
D. $d=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
Cách 1:
+) Ta có các tam giác $A B C, A C D, A B D$ là các tam giác vuông tại đỉnh $A$ nên $A B \perp A C, A D \perp A C$, $A B \perp A D$ hay $A B C D$ là tứ diện vuông đỉnh $A$.
+) Do đó $\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{A B^2}+\dfrac{1}{A C^2}+\dfrac{1}{A D^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(a \sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{(a \sqrt{3})^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{2 a^2}+\dfrac{1}{3 a^2}=\dfrac{11}{6 a^2} \Rightarrow d=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
Cách 2:
+) Do $A B \perp(A C D)$ nên $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle A C D} \cdot A B=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a=\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}$.
+) $B C=\sqrt{A B^2+A C^2}=a \sqrt{3} ; C D=\sqrt{A D^2+A C^2}=a \sqrt{5} ; B D=\sqrt{A D^2+A B^2}=2 a$.
+) Đặt $p=\dfrac{B C+C D+B D}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}+a \sqrt{5}+2 a}{2}$.
+) Lúc đó: $S_{\triangle B C D}=\sqrt{p(p-B C)(p-C D)(p-B D)}=\dfrac{a^2 \sqrt{11}}{2}$.
$\begin{aligned} & \text { +) Mà } V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot \mathrm{d}(A,(B C D)) \cdot \mathrm{S}_{\triangle B C D} \Rightarrow \mathrm{d}(A,(B C D))=\dfrac{3 \cdot V_{A B C D}}{\mathrm{~S}_{\triangle B C D}}=\dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}}{\dfrac{a^2 \sqrt{11}}{2}}=\dfrac{a \sqrt{66}}{11} . \\ & \text { Vậy } d=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}\end{aligned}$
Cách 3:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có $A(0 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; a), C(a \sqrt{2} ; 0 ; 0), D(0 ; a \sqrt{3} ; 0)$.
Phương trình mặt phẳng $(B C D): \dfrac{x}{a \sqrt{2}}+\dfrac{y}{a \sqrt{3}}+\dfrac{z}{a}=1 \Leftrightarrow \sqrt{3} x+\sqrt{2} y+\sqrt{6} z-a \sqrt{6}=0$.
Suy $\operatorname{ra} d(A,(B C D))=\dfrac{|-a \sqrt{6}|}{\sqrt{3+2+6}}=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
+) Do đó $\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{1}{A B^2}+\dfrac{1}{A C^2}+\dfrac{1}{A D^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{(a \sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{(a \sqrt{3})^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{2 a^2}+\dfrac{1}{3 a^2}=\dfrac{11}{6 a^2} \Rightarrow d=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
Cách 2:
+) Do $A B \perp(A C D)$ nên $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle A C D} \cdot A B=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a=\dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}$.
+) $B C=\sqrt{A B^2+A C^2}=a \sqrt{3} ; C D=\sqrt{A D^2+A C^2}=a \sqrt{5} ; B D=\sqrt{A D^2+A B^2}=2 a$.
+) Đặt $p=\dfrac{B C+C D+B D}{2}=\dfrac{a \sqrt{3}+a \sqrt{5}+2 a}{2}$.
+) Lúc đó: $S_{\triangle B C D}=\sqrt{p(p-B C)(p-C D)(p-B D)}=\dfrac{a^2 \sqrt{11}}{2}$.
$\begin{aligned} & \text { +) Mà } V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot \mathrm{d}(A,(B C D)) \cdot \mathrm{S}_{\triangle B C D} \Rightarrow \mathrm{d}(A,(B C D))=\dfrac{3 \cdot V_{A B C D}}{\mathrm{~S}_{\triangle B C D}}=\dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3 \sqrt{6}}{6}}{\dfrac{a^2 \sqrt{11}}{2}}=\dfrac{a \sqrt{66}}{11} . \\ & \text { Vậy } d=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}\end{aligned}$
Cách 3:
Ta có $A(0 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; a), C(a \sqrt{2} ; 0 ; 0), D(0 ; a \sqrt{3} ; 0)$.
Phương trình mặt phẳng $(B C D): \dfrac{x}{a \sqrt{2}}+\dfrac{y}{a \sqrt{3}}+\dfrac{z}{a}=1 \Leftrightarrow \sqrt{3} x+\sqrt{2} y+\sqrt{6} z-a \sqrt{6}=0$.
Suy $\operatorname{ra} d(A,(B C D))=\dfrac{|-a \sqrt{6}|}{\sqrt{3+2+6}}=\dfrac{a \sqrt{66}}{11}$.
Đáp án D.