Google
Câu hỏi: Cho Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A\left( -2;6;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x+4y+89=0$. Đường thẳng $d$ thay đổi nằm trong mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ và luôn đi qua điểm $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M\left( 4;-2;3 \right)$ trên đường thẳng $d$. Khoảng cách nhỏ nhất từ $H$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng
A. $15$.
B. $20$.
C. $\dfrac{68}{5}$.
D. $\dfrac{93}{5}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)\Rightarrow K\left( 4;-2;0 \right)$.
Vì $H$ là hình chiêu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$.
Nên $H$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính là đoạn $AK=10$ và có tâm $I$ là trung điểm của $AK$ $\Rightarrow I\left( 1;2;0 \right)$.
Mặt khác $\left( \alpha \right)\bot \left( Oxy \right)$ nên $Min\text{d}\left( H,\left( \alpha \right) \right)=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)-r=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)-\dfrac{1}{2}AK=20-5=15$.
$\text{Max d}\left( H,\left( \alpha \right) \right)=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)+r=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)-\dfrac{1}{2}AK=20+5=25$.
A. $15$.
B. $20$.
C. $\dfrac{68}{5}$.
D. $\dfrac{93}{5}$.
Vì $H$ là hình chiêu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$.
Nên $H$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có đường kính là đoạn $AK=10$ và có tâm $I$ là trung điểm của $AK$ $\Rightarrow I\left( 1;2;0 \right)$.
Mặt khác $\left( \alpha \right)\bot \left( Oxy \right)$ nên $Min\text{d}\left( H,\left( \alpha \right) \right)=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)-r=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)-\dfrac{1}{2}AK=20-5=15$.
$\text{Max d}\left( H,\left( \alpha \right) \right)=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)+r=\text{d}\left( I,\left( \alpha \right) \right)-\dfrac{1}{2}AK=20+5=25$.
Đáp án A.