Google
Câu hỏi: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{dx}{3+\sqrt{2x+1}}}=a+b\ln \dfrac{2}{3}$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a-b=3.$
B. $a-b=5.$
C. $a+b=5.$
D. $a+b=3.$
A. $a-b=3.$
B. $a-b=5.$
C. $a+b=5.$
D. $a+b=3.$
Đặt $t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=2x+1\Rightarrow dx=t\text{d}t.$
Đổi cận: $\begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=4\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned}$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{dx}{3+\sqrt{2x+1}}}=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{t\text{d}t}{3+t}}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 1-\dfrac{3}{t+3} \right)dt}=\left. \left( t-3\ln \left| t+3 \right| \right) \right|_{1}^{3}=2+3\ln \dfrac{2}{3}$
Do đó $a+b=5.$
Đổi cận: $\begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=4\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned}$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{4}{\dfrac{dx}{3+\sqrt{2x+1}}}=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{t\text{d}t}{3+t}}=\int\limits_{1}^{3}{\left( 1-\dfrac{3}{t+3} \right)dt}=\left. \left( t-3\ln \left| t+3 \right| \right) \right|_{1}^{3}=2+3\ln \dfrac{2}{3}$
Do đó $a+b=5.$
Đáp án C.