Google
Câu hỏi: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{3}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}dx}=\dfrac{a}{15}+\dfrac{10\sqrt{b}}{3}$ với $a;b\in \mathbb{N}*$.
Giá trị của ${{a}^{2}}+b-1$ là
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Giá trị của ${{a}^{2}}+b-1$ là
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}={{t}^{2}}-1 \\
& xdx=tdt \\
\end{aligned} \right. $. Đổi cận $ \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $I=\int\limits_{1}^{\sqrt{5}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t.dt=\left( \dfrac{{{t}^{5}}}{5}-\dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right)_{1}^{\sqrt{5}}}=\dfrac{2}{15}+\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$
Do đó $a=2,b=5\Rightarrow {{a}^{2}}+b-1=8$.
& {{x}^{2}}={{t}^{2}}-1 \\
& xdx=tdt \\
\end{aligned} \right. $. Đổi cận $ \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $I=\int\limits_{1}^{\sqrt{5}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)t.dt=\left( \dfrac{{{t}^{5}}}{5}-\dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right)_{1}^{\sqrt{5}}}=\dfrac{2}{15}+\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$
Do đó $a=2,b=5\Rightarrow {{a}^{2}}+b-1=8$.
Đáp án D.