Cho tích phân...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tích phân

I = \int_{0}^{2} x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x = \frac{a}{15} + \frac{10 \sqrt{b}}{3}

với

a; b \in N *

.
Giá trị của

a^{2} + b - 1

là
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.

Đặt

t = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow {\begin{aligned} x^{2} = t^{2} - 1 \\ x d x = t d t \end{aligned}

. Đổi cận

{\begin{aligned} x = 0 \\ x = 2 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} t = 1 \\ t = \sqrt{5} \end{aligned}

.
Suy ra

I = \int_{1}^{\sqrt{5}} (t^{2} - 1) t . d t = {(\frac{t^{5}}{5} - \frac{t^{3}}{3})}_{1}^{\sqrt{5}} = \frac{2}{15} + \frac{10 \sqrt{5}}{3}

Do đó

a = 2, b = 5 \Rightarrow a^{2} + b - 1 = 8

.

Đáp án D.