Google
Câu hỏi: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{8}}{\sqrt{16-{{x}^{2}}}}\text{d}x$ và đặt $x=4\sin t.$ Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. $I=-16\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}t\text{d}t}.$
B. $I=8\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)}\text{d}t.$
C. $I=16\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\sin }^{2}}t\text{d}t}.$
D. $I=8\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1-\cos 2t \right)}\text{d}t.$
A. $I=-16\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}t\text{d}t}.$
B. $I=8\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)}\text{d}t.$
C. $I=16\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\sin }^{2}}t\text{d}t}.$
D. $I=8\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1-\cos 2t \right)}\text{d}t.$
Vì $x=4\sin t\Rightarrow dx=4\cos tdt$.
Đổi cận: $x=0$ thì $4\sin t=0\Leftrightarrow t=0;x=\sqrt{8}$ thì $4\sin t=\sqrt{8}\Leftrightarrow t=\dfrac{\pi }{4}.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sqrt{16-{{\left( 4\sin t \right)}^{2}}}.4\cos tdt=16\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}tdt}=8\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}}$
Đổi cận: $x=0$ thì $4\sin t=0\Leftrightarrow t=0;x=\sqrt{8}$ thì $4\sin t=\sqrt{8}\Leftrightarrow t=\dfrac{\pi }{4}.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\sqrt{16-{{\left( 4\sin t \right)}^{2}}}.4\cos tdt=16\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}tdt}=8\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}}$
Đáp án B.