Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{\sqrt{x}.\sin...

Lời giải

$\begin{aligned}
& I=\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{\sqrt{x}}.\sin \sqrt{x}dx=2\int\limits_{0}^{\pi }{{{t}^{2}}}.\operatorname{\sin t}.dt \\
& =-2{{t}^{2}}\cos t|_{0}^{\pi }+4\int\limits_{0}^{\pi }{t\cos tdt=2{{\pi }^{2}}-8\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{a}{b}}\in \left( -1;0 \right) \\
\end{aligned}$
Giải chi tiết:
Bước 1:
Đổi biến: Đặt $t=x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx;$
Khi $x=0$ thì t = 0 , khi $x={{\pi }^{2}}$ thì $t=\pi $
Suy ra $I=\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{\sqrt{x}.\sin \sqrt{x}dx=\int\limits_{0}^{\pi }{2{{t}^{2}}}}.\sin tdt={{I}_{1}}$
Bước 2:
Tính ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\pi }{2{{t}^{2}}}.\sin tdt$
Đặt $u=2{{t}^{2}}$ và $dv=\sin tdt$, ta có $du=4tdt$ và $v=-\cos t$. Do đó
${{I}_{1}}\pi =\int\limits_{0}^{\pi }{{}}2{{t}^{2}}.\sin tdt=2{{t}^{2}}\cos t|_{0}^{\pi }+\int\limits_{0}^{\pi }{4t\cos tdt=2{{\pi }^{2}}+{{I}_{2}}}$
Bước 3:
Tính ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{4}{4t\cos tdt}$
Đặt $u=4t$ và $dv=\cos tdt$, ta có $du=4dt$ và $v=\sin t$.
Do đó ${{I}_{3}}=4t\sin t|_{0}^{\pi }-4\int\limits_{0}^{\pi }{\sin tdt=4\cos t|_{0}^{\pi }=-8}$
Bước 4: kết luận:
Vậy $I=\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{\sqrt{x}}.\sin \sqrt{x}dx=2{{\pi }^{2}}-8$ suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=-8 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{a}{b}\in \left( -1;0 \right)$