. Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{\sin...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Cho tích phân

I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin x \cos^{2} x}{1 + \cos x} d x = a \ln 2 + b \ln 3 + c

với

a, b, c \in Q .

Tính tích

P = a b c .

A.

P = \frac{1}{8} .

B.

P = \frac{1}{4} .

C.

P = \frac{- 1}{4} .

D.

P = \frac{- 1}{8} .

Ta có:

I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin x \cos^{2} x}{1 + \cos x} d x = - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos^{2} x}{1 + \cos x} d (\cos x) \overset{t = \cos x}{\to} - \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{t^{2} d t}{1 + t} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{t^{2} d t}{1 + t} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} (t - 1 + \frac{1}{t + 1}) d t

= {(\frac{t^{2}}{2} - t + \ln | t + 1 |) |}_{\frac{1}{2}}^{1} = - \frac{1}{8} + \ln \frac{4}{3} = 2 \ln 2 - \ln 3 - \frac{1}{8} \Rightarrow {\begin{aligned} a = 2 \\ b = - 1 \\ c = \frac{- 1}{8} \end{aligned} \Rightarrow P = a b c = \frac{1}{4}

.

Đáp án B.