Google
Câu hỏi: Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng $\left( OAB \right)$ lấy điểm M sao cho OM = x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi N là giao điểm của EF và d. Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất.
A. $x=a\sqrt{2}$.
B. $x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.
Do tam giác OAB đều cạnh a, suy ra F là trung điểm OB $\Rightarrow OF=\dfrac{a}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AF\bot OB \\
& AF\bot MO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AF\bot \left( MOB \right)\Rightarrow AF\bot MB$.
Lại có $MB\bot AE$ nên suy ra $MB\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MB\bot EF$.
Suy ra $\Delta OBM\backsim \Delta ONF$ nên $\dfrac{OB}{OM}=\dfrac{ON}{OF}\xrightarrow[{}]{{}}ON=\dfrac{OB.OF}{OM}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2x}$.
Ta có ${{V}_{ABMN}}={{V}_{ABOM}}+{{V}_{ABON}}$
$=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta OAB}}\left( OM+ON \right)=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\left( x+\dfrac{{{a}^{2}}}{2x} \right)\ge \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{{{a}^{2}}}{2x}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
A. $x=a\sqrt{2}$.
B. $x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
C. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$.
Do tam giác OAB đều cạnh a, suy ra F là trung điểm OB $\Rightarrow OF=\dfrac{a}{2}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AF\bot OB \\
& AF\bot MO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AF\bot \left( MOB \right)\Rightarrow AF\bot MB$.
Lại có $MB\bot AE$ nên suy ra $MB\bot \left( AEF \right)\Rightarrow MB\bot EF$.
Suy ra $\Delta OBM\backsim \Delta ONF$ nên $\dfrac{OB}{OM}=\dfrac{ON}{OF}\xrightarrow[{}]{{}}ON=\dfrac{OB.OF}{OM}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2x}$.
Ta có ${{V}_{ABMN}}={{V}_{ABOM}}+{{V}_{ABON}}$
$=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta OAB}}\left( OM+ON \right)=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\left( x+\dfrac{{{a}^{2}}}{2x} \right)\ge \dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\dfrac{{{a}^{2}}}{2x}\Leftrightarrow x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án B.