Google
Câu hỏi: Cho tam giác $OAB$ đều cạnh $2a.$ Trên đường thẳng $d$ qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( OAB \right)$ lấy điểm $M$ sao cho $OM=x.$ Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $MB$ và $OB.$ Gọi $N$ là giao điểm của $EF$ và $d.$ Tìm $x$ để thể tích tứ diện $ABMN$ có giá trị nhỏ nhất.
A. $x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
B. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
C. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D. $x=a\sqrt{2}$
A. $x=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
B. $x=\dfrac{a\sqrt{6}}{12}$
C. $x=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
D. $x=a\sqrt{2}$
Phương pháp:
- Phân chia khối đa diện: ${{V}_{ABMN}}={{V}_{M.OAB}}+{{V}_{N.AOB}}=\dfrac{1}{3}OM.{{S}_{\Delta OAB}}+\dfrac{1}{3}ON.{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{\Delta OAB}}.$
- Để ${{V}_{ABMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Chứng minh $BM\bot \left( AEF \right).$
- Sử dụng tam giác đồng dạng tính độ dài $ON.$
- Áp dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của $OM+ON.$ Từ đó tìm $x$ để ${{V}_{ABMN}}$ nhỏ nhất.
Cách giải:
Ta có ${{V}_{ABMN}}={{V}_{M.OAB}}+{{V}_{N.AOB}}=\dfrac{1}{3}OM.{{S}_{\Delta OAB}}+\dfrac{1}{3}ON.{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{\Delta OAB}}.$
Tam giác $OAB$ đều cạnh $2a$ nên ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$ không đổi.
Do đó ${{V}_{ABMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: $\Delta OAB$ đều $\Rightarrow M$ là trung điểm của $OB.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AF\bot OB \\
& AF\bot OM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AF\bot \left( OBM \right)\Rightarrow AF\bot BM$
$\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot AF \\
& BM\bot AE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( AEF \right)\Rightarrow BM\bot EF$
Ta có $\angle BEF=\angle OMB=\angle OFN\Rightarrow \Delta OBM\backsim \Delta ONF\left( g.g \right).$
$\Rightarrow \dfrac{ON}{OB}=\dfrac{OF}{OM}\Rightarrow ON=\dfrac{OB.OF}{OM}=\dfrac{2a.a}{x}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}.$
$\Rightarrow MN=OM+ON=x+\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}\ge 2\sqrt{x\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}}=2\sqrt{2}a.$ Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}.$
Vậy ${{V}_{ABMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=a\sqrt{2}.$
- Phân chia khối đa diện: ${{V}_{ABMN}}={{V}_{M.OAB}}+{{V}_{N.AOB}}=\dfrac{1}{3}OM.{{S}_{\Delta OAB}}+\dfrac{1}{3}ON.{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{\Delta OAB}}.$
- Để ${{V}_{ABMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Chứng minh $BM\bot \left( AEF \right).$
- Sử dụng tam giác đồng dạng tính độ dài $ON.$
- Áp dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của $OM+ON.$ Từ đó tìm $x$ để ${{V}_{ABMN}}$ nhỏ nhất.
Cách giải:
Ta có ${{V}_{ABMN}}={{V}_{M.OAB}}+{{V}_{N.AOB}}=\dfrac{1}{3}OM.{{S}_{\Delta OAB}}+\dfrac{1}{3}ON.{{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{\Delta OAB}}.$
Tam giác $OAB$ đều cạnh $2a$ nên ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$ không đổi.
Do đó ${{V}_{ABMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: $\Delta OAB$ đều $\Rightarrow M$ là trung điểm của $OB.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AF\bot OB \\
& AF\bot OM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AF\bot \left( OBM \right)\Rightarrow AF\bot BM$
$\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot AF \\
& BM\bot AE \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( AEF \right)\Rightarrow BM\bot EF$
Ta có $\angle BEF=\angle OMB=\angle OFN\Rightarrow \Delta OBM\backsim \Delta ONF\left( g.g \right).$
$\Rightarrow \dfrac{ON}{OB}=\dfrac{OF}{OM}\Rightarrow ON=\dfrac{OB.OF}{OM}=\dfrac{2a.a}{x}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}.$
$\Rightarrow MN=OM+ON=x+\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}\ge 2\sqrt{x\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}}=2\sqrt{2}a.$ Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow x=\dfrac{2{{a}^{2}}}{x}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}.$
Vậy ${{V}_{ABMN}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=a\sqrt{2}.$
Đáp án D.