Cho tam giác nhọn $ABC$, biết rằng khi quay tam giác này quanh các...

Vì tam giác nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác.
Gọi , , lần lượt là đường cao từ đỉnh , , của tam giác , và , , lần lượt là độ dài các cạnh , , .
Khi đó
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh là .
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh là .
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh là .
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{3}c.h_{c}^{2}=672 \\
& \dfrac{1}{3}a.h_{a}^{2}=\dfrac{3136}{5} \\
& \dfrac{1}{3}b.h_{b}^{2}=\dfrac{9408}{13} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{c}=672 \\
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{a}=\dfrac{3136}{5} \\
& \dfrac{4}{3}\dfrac{{{S}^{2}}}{b}=\dfrac{9408}{13} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( a+b+c \right)\left( a+b-c \right)\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)={{S}^{8}}.\dfrac{1}{{{3}^{4}}}.\dfrac{1}{9408}.\dfrac{1}{28812} \Leftrightarrow 16{{S}^{2}}={{S}^{8}}.\dfrac{1}{{{3}^{4}}}.\dfrac{1}{9408}.\dfrac{1}{28812} \Leftrightarrow {{S}^{6}}=16.81.9408.28812 \Leftrightarrow S=84$.