Cho tam giác đều $O A B$ có cạnh bằng $a > 0$ . Trên đường thẳng $d$ đi...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho tam giác đều

O A B

có cạnh bằng

a > 0

. Trên đường thẳng

d

đi qua

O

và vuông góc với mặt phẳng

(O A B)

lấy điểm

M

sao cho

O M = x

. Gọi

E, F

lần lượt là các hình chiếu vuông góc của

A

lên

M B, O B

. Đường thẳng

E F

cắt đường thẳng

d

tại

N

. Quay miền tam giác

O B M

và

O F N

quanh

d

tạo thành hai khối nón tròn xoay. Xác định

x

để tổng thể tích hai khối nón tròn xoay nhỏ nhất.
A.

\frac{a \sqrt{2}}{3}

.
B.

a \sqrt{2}

.
C.

\frac{a \sqrt{2}}{2}

.
D.

\frac{a \sqrt{2}}{4}

.

Ta có

{\begin{aligned} A F ⊥ O B \\ A F ⊥ O M \end{aligned} \Rightarrow A F ⊥ (M O B) \Rightarrow A F ⊥ M B

.
Mặt khác

A E ⊥ M B

. Vậy

M B ⊥ (A E F) \Rightarrow M B ⊥ E F

suy ra tam giác

E F B

vuông tại

E

.
Xét hai tam giác vuông

N O F

và

B E F

có

O F = F B, \hat{O F N} = \hat{B F E} \Rightarrow Δ O F N = Δ E F B

.
Suy ra

\hat{F B E} = \hat{F N O}

nên

Δ O F N \sim Δ O M B \Rightarrow \frac{N O}{B O} = \frac{O F}{O M} \Rightarrow O M . O N = O F . O B = \frac{a^{2}}{2}

.
Quay miền tam giác

O B M

và

O F N

quanh

d

tạo thành hai khối nón có tổng thể tích

V = \frac{1}{3} π . O F^{2} . O N + \frac{1}{3} π . O B^{2} . O M = \frac{1}{3} π . {\frac{a}{4}}^{2} . O N + \frac{1}{3} π . a^{2} . O M = \frac{1}{3} π . a^{2} (\frac{O N}{4} + O M)

.
Mà

\frac{O N}{4} + O M \geq 2 \sqrt{\frac{O N}{4} . O M} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.
Vậy

V \geq \frac{1}{3} π . a^{2} \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{6}

.
Dấu bằng xảy ra khi

{\begin{aligned} \frac{O N}{4} = O M \\ O N . O M = \frac{a^{2}}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} O N = a \sqrt{2} \\ O M = \frac{\sqrt{2} a}{4} \end{aligned}

. Vậy

x = O M = \frac{\sqrt{2} a}{4}

.

Đáp án D.

Cho tam giác đều $O A B$ có cạnh bằng $a > 0$ . Trên đường thẳng $d$ đi...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho tam giác đều OAB có cạnh bằng a>0. Trên đường thẳng d đi...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Cho tam giác đều $O A B$ có cạnh bằng $a > 0$ . Trên đường thẳng $d$ đi...