Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng $Δ$ đi...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng

Δ

đi qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M bất kì. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên MC, AC và đường thẳng

Δ

cắt EF tại N (như hình bên). Khi đó thể tích của tứ diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}

B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

D.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

Ta có:

V_{M N B C} = V_{M . A B C} + V_{N . A B C} = \frac{1}{3} M A . S_{A B C} + \frac{1}{3} N A . S_{A B C} = \frac{1}{3} M N . S_{A B C}

Đặt

A M = x \Rightarrow M N = x + A N

Ta có:

B F ⊥ (M A C) \Rightarrow B F ⊥ M C \Rightarrow M C ⊥ (B E F) \equiv (B E N)

Suy ra:

M C ⊥ B N \Leftrightarrow \vec{M C} . \vec{B N} = 0 \Leftrightarrow (\vec{M A} + \vec{A C}) (\vec{B A} + \vec{A N}) = 0

\Leftrightarrow 0 + x . A N - a^{2} . \frac{1}{2} + 0 = 0 \Leftrightarrow A N = \frac{a^{2}}{a x}

Khi đó:

M N = x + \frac{a^{2}}{a x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{a^{2}}{2 x}} = a \sqrt{2}

Suy ra:

V_{M N B C} = \frac{1}{3} M N . S_{A B C} \geq \frac{1}{3} a \sqrt{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}

Đáp án D.

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng Δ đi...