Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng $\Delta $ đi qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M bất kì. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên MC, AC và đường thẳng $\Delta $ cắt EF tại N (như hình bên). Khi đó thể tích của tứ diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
Ta có: ${{V}_{MNBC}}={{V}_{M.ABC}}+{{V}_{N.ABC}}=\dfrac{1}{3}MA.{{S}_{ABC}}+\dfrac{1}{3}NA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{ABC}}$
Đặt $AM=x\Rightarrow MN=x+AN$
Ta có: $BF\bot \left( MAC \right)\Rightarrow BF\bot MC\Rightarrow MC\bot \left( BEF \right)\equiv \left( BEN \right)$
Suy ra: $MC\bot BN\Leftrightarrow \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BN}=0\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN} \right)=0$
$\Leftrightarrow 0+x.AN-{{a}^{2}}.\dfrac{1}{2}+0=0\Leftrightarrow AN=\dfrac{{{a}^{2}}}{ax}$
Khi đó: $MN=x+\dfrac{{{a}^{2}}}{ax}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{{{a}^{2}}}{2x}}=a\sqrt{2}$
Suy ra: ${{V}_{MNBC}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{ABC}}\ge \dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
Ta có: ${{V}_{MNBC}}={{V}_{M.ABC}}+{{V}_{N.ABC}}=\dfrac{1}{3}MA.{{S}_{ABC}}+\dfrac{1}{3}NA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{ABC}}$
Đặt $AM=x\Rightarrow MN=x+AN$
Ta có: $BF\bot \left( MAC \right)\Rightarrow BF\bot MC\Rightarrow MC\bot \left( BEF \right)\equiv \left( BEN \right)$
Suy ra: $MC\bot BN\Leftrightarrow \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{BN}=0\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN} \right)=0$
$\Leftrightarrow 0+x.AN-{{a}^{2}}.\dfrac{1}{2}+0=0\Leftrightarrow AN=\dfrac{{{a}^{2}}}{ax}$
Khi đó: $MN=x+\dfrac{{{a}^{2}}}{ax}\ge 2\sqrt{x.\dfrac{{{a}^{2}}}{2x}}=a\sqrt{2}$
Suy ra: ${{V}_{MNBC}}=\dfrac{1}{3}MN.{{S}_{ABC}}\ge \dfrac{1}{3}a\sqrt{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$
Đáp án D.