Google
Câu hỏi: Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $3a.$ Điểm $H$ thuộc cạnh $AC$ với $HC=a.$ Dựng đoạn thẳng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ với $SH=2a.$ Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SAB \right)$ là
A. $3a.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}a.$
C. $\dfrac{7}{3}a.$
D. $\dfrac{3\sqrt{21}}{7}a.$
Gọi $E$ là trung điểm $AB,$ suy ra $CE\bot AB.$
Kẻ $HI//CE,I\in AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& HI\bot AB \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SHI \right),$ kẻ $HK\bot SI$ tại $K,$ suy ra $HK\bot \left( SAB \right)$.
Ta có $HI=\dfrac{2}{3}CE=a\sqrt{3}.$
Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}.$
Ta có $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}.$
A. $3a.$
B. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}a.$
C. $\dfrac{7}{3}a.$
D. $\dfrac{3\sqrt{21}}{7}a.$
Gọi $E$ là trung điểm $AB,$ suy ra $CE\bot AB.$
Kẻ $HI//CE,I\in AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& HI\bot AB \\
& AB\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SHI \right),$ kẻ $HK\bot SI$ tại $K,$ suy ra $HK\bot \left( SAB \right)$.
Ta có $HI=\dfrac{2}{3}CE=a\sqrt{3}.$
Ta có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}.$
Ta có $d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}d\left( H;\left( SAB \right) \right)=\dfrac{3}{2}HK=\dfrac{3a\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án D.