Cho tam giác đều ABC cạnh a, dựng về cùng một phía của mặt phẳng...

Cách 1:

Ta có $Ax\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ và $By\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên $A{A}^{\prime }\text{//}B{B}^{\prime }$. Gọi $D\equiv A^{\prime }{B}^{\prime }\cap AB$.
$\{\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }}{A{A}^{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & A{A}^{\prime }\text{//}B{B}^{\prime }\end{array}\Rightarrow B{B}^{\prime }$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }A{A}^{\prime }D$.
Lại có $\mathrm{\Delta }ABC$ đều.
Do đó $BD=BA=BC=a\Rightarrow \mathrm{\Delta }ACD$ cân tại B.
Gọi E là trung điểm của CD $\Rightarrow BE\mathrm{\perp }CD$ $\left(1\right)$.
$B{B}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow B{B}^{\prime }\mathrm{\perp }CD$ $\left(2\right)$.
Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ $\Rightarrow CD\mathrm{\perp }\left(B{B}^{\prime }E\right)\Rightarrow CD\mathrm{\perp }{B}^{\prime }E$
Vì $\{\begin{array}{rl}& \left(ABC\right)\cap \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)=CD\\ & BE\mathrm{\perp }CD\\ & B^{\prime }E\mathrm{\perp }CD\end{array}\Rightarrow \widehat{(\left(ABC\right),\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right))}=\widehat{(BE,B^{\prime }E)}=\widehat{BE{B}^{\prime }}$Nhận thấy BE là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }ACD\Rightarrow BE={\displaystyle \frac{a}{2}}$.
Xét $\mathrm{\Delta }B{B}^{\prime }E$ có: $\tan \widehat{BE{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{B{B}^{\prime }}{BE}}=2\Rightarrow \cos \widehat{BE{B}^{\prime }}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$.
Cách 2:

Ta có $Ax\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ và $By\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên $\mathrm{\Delta }ABC$ là hình chiếu của $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }C$ trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$.
Do đó $\cos \widehat{(\left(A^{\prime }{B}^{\prime }C\right),\left(ABC\right))}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}{S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }C}}}$
$S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AC.\sin BAC={\displaystyle \frac{1}{2}}a.a.\sin 60{}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{a}^2$.
$A^{\prime }C=\sqrt{A^{\prime }{A}^2+A{C}^2}=a\sqrt{5}$ ; $B^{\prime }C=\sqrt{B^{\prime }{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ ; $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B^{\prime }{B}^2}=a\sqrt{2}$
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }C$ cân tại $B^{\prime }\Rightarrow B^{\prime }H=\sqrt{B^{\prime }{C}^2-{\displaystyle \frac{A^{\prime }{C}^2}{4}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$
$S_{A^{\prime }{B}^{\prime }C}={\displaystyle \frac{1}{2}}{B}^{\prime }H.A^{\prime }C={\displaystyle \frac{a^2\sqrt{15}}{4}}\Rightarrow \cos \widehat{(\left(A^{\prime }{B}^{\prime }C\right),\left(ABC\right))}={\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}{S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }C}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}$