Cho tam giác $A B C .$ Xét $m$ đường thẳng phân biệt song song với...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho tam giác

A B C .

Xét

m

đường thẳng phân biệt song song với cạnh

A B, n

đường thẳng phân biệt song song với cạnh

A C

và 2 đường thẳng phân biệt song song với cạnh

B C,

với

m, n \in N, m \geq 2, n \geq 2

. Biết rằng có tất cả 43 hình bình hành được thành lập từ

m + n + 2

đường thẳng nói trên. Có bao nhiêu bộ số thỏa mãn đề bài?
A. 10.
B. 4.
C. 8.
D. 6.

Số hình bình hành được lập từ

m + n + 2

đường là

C_{m}^{2} C_{n}^{2} + C_{m}^{2} C_{2}^{2} + C_{n}^{2} C_{2}^{2} = 43

\Leftrightarrow C_{m}^{2} C_{n}^{2} + C_{m}^{2} + C_{n}^{2} = 43

(2 đường

m,

2 đường

n

song song tạo nên hình bình hành))

\Leftrightarrow C_{m}^{2} = \frac{43 - C_{n}^{2}}{1 + C_{n}^{2}} = \frac{44 - (1 + C_{n}^{2})}{1 + C_{n}^{2}} = - 1 + \frac{44}{1 + C_{n}^{2}}

Vì

C_{m}^{2}, C_{n}^{2}

là các số nguyên lớn hớn 1 nên

1 + C_{n}^{2}

là ước nguyên dương của 44
Do đó

[\begin{aligned} 1 + C_{n}^{2} = 4 \\ 1 + C_{n}^{2} = 11 \\ 1 + C_{n}^{2} = 2 \\ 1 + C_{n}^{2} = 22 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} C_{n}^{2} = 3 \\ C_{n}^{2} = 10 \\ C_{n}^{2} = 1 \\ C_{n}^{2} = 21 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} n (n - 1) = 6 \\ n (n - 1) = 20 \\ n (n - 1) = 2 \\ n (n - 1) = 42 \end{aligned} \Rightarrow n = (2; 3; 5; 7)

Vì vai trò của

m, n

như nhau nên với mỗi

n

sẽ có một

m

tương ứng.
Vậy có tất cả 4 bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án B.

Cho tam giác ABC. Xét m đường thẳng phân biệt song song với...