Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC.$ Xét $m$ đường thẳng phân biệt song song với cạnh $AB,n$ đường thẳng phân biệt song song với cạnh $AC$ và 2 đường thẳng phân biệt song song với cạnh $BC,$ với $m,n\in \mathbb{N},m\ge 2,n\ge 2$. Biết rằng có tất cả 43 hình bình hành được thành lập từ $m+n+2$ đường thẳng nói trên. Có bao nhiêu bộ số thỏa mãn đề bài?
A. 10.
B. 4.
C. 8.
D. 6.
A. 10.
B. 4.
C. 8.
D. 6.
Số hình bình hành được lập từ $m+n+2$ đường là $C_{m}^{2}C_{n}^{2}+C_{m}^{2}C_{2}^{2}+C_{n}^{2}C_{2}^{2}=43$
$\Leftrightarrow C_{m}^{2}C_{n}^{2}+C_{m}^{2}+C_{n}^{2}=43$ (2 đường $m,$ 2 đường $n$ song song tạo nên hình bình hành))
$\Leftrightarrow C_{m}^{2}=\dfrac{43-C_{n}^{2}}{1+C_{n}^{2}}=\dfrac{44-\left( 1+C_{n}^{2} \right)}{1+C_{n}^{2}}=-1+\dfrac{44}{1+C_{n}^{2}}$
Vì $C_{m}^{2},C_{n}^{2}$ là các số nguyên lớn hớn 1 nên $1+C_{n}^{2}$ là ước nguyên dương của 44
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& 1+C_{n}^{2}=4 \\
& 1+C_{n}^{2}=11 \\
& 1+C_{n}^{2}=2 \\
& 1+C_{n}^{2}=22 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& C_{n}^{2}=3 \\
& C_{n}^{2}=10 \\
& C_{n}^{2}=1 \\
& C_{n}^{2}=21 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n\left( n-1 \right)=6 \\
& n\left( n-1 \right)=20 \\
& n\left( n-1 \right)=2 \\
& n\left( n-1 \right)=42 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n=\left( 2;3;5;7 \right)$
Vì vai trò của $m,n$ như nhau nên với mỗi $n$ sẽ có một $m$ tương ứng.
Vậy có tất cả 4 bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow C_{m}^{2}C_{n}^{2}+C_{m}^{2}+C_{n}^{2}=43$ (2 đường $m,$ 2 đường $n$ song song tạo nên hình bình hành))
$\Leftrightarrow C_{m}^{2}=\dfrac{43-C_{n}^{2}}{1+C_{n}^{2}}=\dfrac{44-\left( 1+C_{n}^{2} \right)}{1+C_{n}^{2}}=-1+\dfrac{44}{1+C_{n}^{2}}$
Vì $C_{m}^{2},C_{n}^{2}$ là các số nguyên lớn hớn 1 nên $1+C_{n}^{2}$ là ước nguyên dương của 44
Do đó $\left[ \begin{aligned}
& 1+C_{n}^{2}=4 \\
& 1+C_{n}^{2}=11 \\
& 1+C_{n}^{2}=2 \\
& 1+C_{n}^{2}=22 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& C_{n}^{2}=3 \\
& C_{n}^{2}=10 \\
& C_{n}^{2}=1 \\
& C_{n}^{2}=21 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n\left( n-1 \right)=6 \\
& n\left( n-1 \right)=20 \\
& n\left( n-1 \right)=2 \\
& n\left( n-1 \right)=42 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow n=\left( 2;3;5;7 \right)$
Vì vai trò của $m,n$ như nhau nên với mỗi $n$ sẽ có một $m$ tương ứng.
Vậy có tất cả 4 bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.