Cho tam giác ABC vuông tại A và nội tiếp đường tròn có bán kính R...

Vì $SA.S{A}'=SB.S{B}'=3{{R}^{2}}$ nên $AB{B}'{A}'$ là tứ giác nội tiếp, ngoài ra $\widehat{{A}'AB}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{B{B}'A}=90{}^\circ .$
Tương tự $SA.S{A}'=SC.S{C}'=3{{R}^{2}}$ ta cũng có $\widehat{C{C}'A}=90{}^\circ .$
Do đó 4 điểm ${A}',{B}',{C}',{S}'$ nằm trên mặt cầu đường kính $S{A}'$ và 6 điểm $A,B,C,{A}',{B}',{C}'$ cũng thuộc mặt cầu tâm I, bán kính IA.
Gọi ${I}'$ là trung điểm của $S{A}'$ và K là trung điểm của $A{A}'$.
Khi đó $S{A}'=\dfrac{3}{2}R;S{I}'=\dfrac{3}{4}R;AK=\dfrac{1}{4}R;IK=\dfrac{BC}{2}=R;{I}'K=\dfrac{5}{8}SA=\dfrac{5}{4}R$
Ta có $I{{A}^{2}}=A{{K}^{2}}+{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{R}^{2}}}{16}+{{R}^{2}}=\dfrac{17{{R}^{2}}}{16}$ và ${I}'I=\sqrt{{I}'{{K}^{2}}+K{{I}^{2}}}=R\sqrt{2}.$
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A}'{B}'{C}'$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}=\left( \dfrac{S{A}'}{2} \right)-I{{H}^{2}}=\dfrac{9}{16}{{R}^{2}}-{I}'{{H}^{2}} \\
& {{r}^{2}}=I{{A}^{2}}-I{{H}^{2}}=\dfrac{17}{6}{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}=\dfrac{17}{6}{{R}^{2}}-{{\left( {I}'I-{I}'H \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}=\dfrac{9}{16}{{R}^{2}}-{I}'{{H}^{2}} \\
& 2R\sqrt{2}.{I}'H=\dfrac{3}{2}{{R}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{r}^{2}}=\dfrac{9}{32}{{R}^{2}} \\
& {I}'{{H}^{2}}=\dfrac{9}{32}{{R}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A}'{B}'{C}'$ là $S=\pi {{r}^{2}}=\dfrac{9}{32}{{.6}^{2}}\pi =\dfrac{81}{8}$