Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $BC$ và hợp với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ góc $\alpha \left(...

Phương pháp:
- Kẻ $AH\bot \left( P \right)\left( H\in \left( P \right) \right)$, xác định các góc $\alpha ,\beta ,\gamma .$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tìm mối quan hệ giữa $\cos \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma .$
Cách giải:

Kẻ $AH\bot \left( P \right)\left( H\in \left( P \right) \right)$ ta có $\angle \left( AB;\left( P \right) \right)=\angle ABH=\beta ;\angle \left( AC;\left( P \right) \right)=\angle ACH=\gamma .$
Kẻ $HI\bot BC\left( I\in BC \right)$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot HI \\
& BC\bot AH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AHI \right)\Rightarrow BC\bot AI$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABC \right)\cap \left( P \right)=BC \\
& AI\subset \left( ABC \right);AI\bot BC \\
& HI\subset \left( P \right);HI\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( ABC \right);\left( P \right) \right)=\angle \left( AI;HI \right)=\angle AIH=\alpha .$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{C}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{A{{H}^{2}}}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{A{{H}^{2}}}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{A{{H}^{2}}}{A{{C}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\gamma $
$\Leftrightarrow 1-{{\cos }^{2}}\alpha ={{\sin }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\gamma $
$\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\gamma =1$
Vậy $P=1.$