Google
Câu hỏi: Cho tam giác ABC đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm (hình vẽ bên) quay quanh đường thẳng AD bằng
A. $\dfrac{23\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{216}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
C. $\dfrac{20\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{217}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
A. $\dfrac{23\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{216}$.
B. $\dfrac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
C. $\dfrac{20\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{217}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.
Khi quay tam giác ABC quanh trục AD được khối nón có thể tích là
$N=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .H{{C}^{2}}.AH=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{24}.$
Khi quay đường tròn tâm O quanh trục AD được khối cầu có thể tích là
$V=\dfrac{4}{3}\pi .{{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .A{{O}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm: $V-N=\dfrac{23\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{216}.$
$N=\dfrac{1}{3}\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .H{{C}^{2}}.AH=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{24}.$
Khi quay đường tròn tâm O quanh trục AD được khối cầu có thể tích là
$V=\dfrac{4}{3}\pi .{{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .A{{O}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{27}.$
Thể tích khối tròn xoay cần tìm: $V-N=\dfrac{23\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{216}.$
Đáp án A.