Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, đường thẳng $d$ đi qua $A$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Gọi $S$ là điểm thay đổi trên đường thẳng $d$, $H$ là trực tâm tam giác $SBC$. Biết rằng khi điểm $S$ thay đổi trên đường thẳng $d$ thì điểm $H$ nằm trên đường $\left( C \right)$. Trong số các mặt cầu chứa đường $\left( C \right)$, bán kính mặt cầu nhỏ nhất là
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
B. $a$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{12}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ ; $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
Ta có $BC$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SAM \right)$
Gọi $N$ là giao điểm của $BG$ và $AC$
Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc vủa $B$ lên $SC$
Giao điểm của $SM$ và $BP$ là trực tâm $H$ của tam giác $SBC$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BN\bot AC \\
& BN\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BN\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BN\bot SC$
Ta lại có: $SC$ vuông góc với $BP$ (do $H$ là trực tâm)
$\Rightarrow SC\bot \left( BPN \right)\Rightarrow SC\bot GH$
Mặt khác $BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot GH$
$\Rightarrow GH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow GH\bot SM$
$\Rightarrow H$ thuộc mặt cầu đường kính $GM$
Mà $H$ thuộc mặt phẳng cố định là $\left( P \right)$ chứa $d$ và $AM$
$\Rightarrow H$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R=\dfrac{GM}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
B. $a$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{12}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ ; $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
Ta có $BC$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SAM \right)$
Gọi $N$ là giao điểm của $BG$ và $AC$
Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc vủa $B$ lên $SC$
Giao điểm của $SM$ và $BP$ là trực tâm $H$ của tam giác $SBC$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BN\bot AC \\
& BN\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BN\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BN\bot SC$
Ta lại có: $SC$ vuông góc với $BP$ (do $H$ là trực tâm)
$\Rightarrow SC\bot \left( BPN \right)\Rightarrow SC\bot GH$
Mặt khác $BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow BC\bot GH$
$\Rightarrow GH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow GH\bot SM$
$\Rightarrow H$ thuộc mặt cầu đường kính $GM$
Mà $H$ thuộc mặt phẳng cố định là $\left( P \right)$ chứa $d$ và $AM$
$\Rightarrow H$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $R=\dfrac{GM}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}$
Đáp án C.