Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=45{}^{\circ }$...

Quay tam giác $ABC$ xung quanh cạnh $BC$ ta được khối tròn xoay là hai khối nón có chung đáy là khối nón đỉnh $B$, bán kính đáy $HA$ và khối nón đỉnh $C$ bán kính đáy $HA$.
Tam giác $ABH$ có $AB={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ và góc $\widehat{ABC}=45{}^{\circ }=\widehat{HBA}$ nên tam giác $ABH$ vuông cân tại $H$ $\Rightarrow BH=HA={\displaystyle \frac{1}{2}}$ nên $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi .A{H}^2.BH={\displaystyle \frac{\pi }{24}}$
Tam giác $ACH$ có $AH={\displaystyle \frac{1}{2}}$ và $\widehat{ACB}=30{}^{\circ }=\widehat{ACH}$ $\Rightarrow CH={\displaystyle \frac{AH}{\tan 30{}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ nên $V_2={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi .A{H}^2.CH={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi .{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2.{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{24}}$.
Vậy thể tích khối tròn xoay là $V=V_1+V_2={\displaystyle \frac{\pi }{24}}+{\displaystyle \frac{\pi \sqrt{3}}{24}}={\displaystyle \frac{\pi (1+\sqrt{3})}{24}}$.