Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC $ có $\widehat{ABC}=45{}^\circ $, $\widehat{ACB}=30{}^\circ $, $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Quay tam giác $ABC $ xung quanh cạnh $BC $ ta được khối tròn xoay có thể tích $V$ bằng:
A. $V=\dfrac{\pi \sqrt{3}\left( 1+\sqrt{3} \right)}{2}$.
B. $V=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{24}$.
C. $V=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{8}$.
D. $V=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{3}$.
Quay tam giác $ABC $ xung quanh cạnh $BC $ ta được khối tròn xoay là hai khối nón có chung đáy là khối nón đỉnh ${B}$, bán kính đáy ${HA}$ và khối nón đỉnh ${C}$ bán kính đáy ${HA}$.
Tam giác ${ABH}$ có $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và góc $\widehat{ABC}=45{}^\circ =\widehat{HBA}$ nên tam giác ${ABH}$ vuông cân tại ${H}$ $\Rightarrow BH=HA=\dfrac{1}{2}$ nên ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}.\pi .A{{H}^{2}}.BH=\dfrac{\pi }{24}$
Tam giác $ACH$ có $AH=\dfrac{1}{2}$ và $\widehat{ACB}=30{}^\circ =\widehat{ACH}$ $\Rightarrow CH=\dfrac{AH}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ nên ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}.\pi .A{{H}^{2}}.CH=\dfrac{1}{3}.\pi .{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi \sqrt{3}}{24}$.
Vậy thể tích khối tròn xoay là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{\pi }{24}+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{24}=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{24}$.
A. $V=\dfrac{\pi \sqrt{3}\left( 1+\sqrt{3} \right)}{2}$.
B. $V=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{24}$.
C. $V=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{8}$.
D. $V=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{3}$.
Tam giác ${ABH}$ có $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ và góc $\widehat{ABC}=45{}^\circ =\widehat{HBA}$ nên tam giác ${ABH}$ vuông cân tại ${H}$ $\Rightarrow BH=HA=\dfrac{1}{2}$ nên ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}.\pi .A{{H}^{2}}.BH=\dfrac{\pi }{24}$
Tam giác $ACH$ có $AH=\dfrac{1}{2}$ và $\widehat{ACB}=30{}^\circ =\widehat{ACH}$ $\Rightarrow CH=\dfrac{AH}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ nên ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}.\pi .A{{H}^{2}}.CH=\dfrac{1}{3}.\pi .{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\pi \sqrt{3}}{24}$.
Vậy thể tích khối tròn xoay là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\dfrac{\pi }{24}+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{24}=\dfrac{\pi \left( 1+\sqrt{3} \right)}{24}$.
Đáp án B.