Google
Câu hỏi: Cho tam giác $ABC$ có $\angle BAC={{120}^{0}};BC=2a\sqrt{3}.$ Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=a\sqrt{3}.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$ theo $a.$
A. $\dfrac{a\sqrt{19}}{2}.$
B. $a\sqrt{7}.$
C. $a\sqrt{16}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{19}}{2}.$
B. $a\sqrt{7}.$
C. $a\sqrt{16}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.$
Phương pháp:
- Sử dụng công thức giải nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{day}^{2}+\dfrac{{{h}^{2}}}{4}}$ trong đó ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, $h$ là chiều cao của hình chóp.- Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.$
Cách giải:
Gọi ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC,$ áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC,$ ta có: $2{{R}_{day}}=\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sin {{120}^{0}}}=4a\Rightarrow {{R}_{day}}=2a.$
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $R=\sqrt{R_{day}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{19}}{2}.$
- Sử dụng công thức giải nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{day}^{2}+\dfrac{{{h}^{2}}}{4}}$ trong đó ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, $h$ là chiều cao của hình chóp.- Áp dụng định lí sin trong tam giác: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.$
Cách giải:
Gọi ${{R}_{day}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC,$ áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC,$ ta có: $2{{R}_{day}}=\dfrac{BC}{\sin \angle BAC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{\sin {{120}^{0}}}=4a\Rightarrow {{R}_{day}}=2a.$
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp $S.ABC$ là $R=\sqrt{R_{day}^{2}+\dfrac{S{{A}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{19}}{2}.$
Đáp án A.