Cho tam giác $ABC$ có $A\left( 2; 2; 3 \right), B\left( 1;3; 3...

Lấy $I$ trên tia $MN$ sao cho $MI=BM\Rightarrow IN=CN$. Các tam giác $MBI,NCI$ cân suy ra
$\widehat{NIC}+\widehat{MIB}={\displaystyle \frac{{180}^{{}^{\circ }}-\widehat{INC}}{2}}+{\displaystyle \frac{{180}^{{}^{\circ }}-\widehat{IMB}}{2}}={\displaystyle \frac{{360}^{{}^{\circ }}-(\widehat{INC}+\widehat{IMB})}{2}}={90}^{{}^{\circ }}$. Vậy ta có
$\widehat{BIC}={180}^{{}^{\circ }}-(\widehat{NIC}+\widehat{MIB})={90}^{{}^{\circ }}$. Hay $I$ thuộc nửa đường tròn đường kính $BC$. Ta cũng có
$\widehat{MJN}={90}^{{}^{\circ }}$ và $AJ\mathrm{\perp }(BC,Bx)\Rightarrow AJ\mathrm{\perp }JM,AJ\mathrm{\perp }JN$. Vậy $J.AMN$ tam diện vuông nên
$JH\mathrm{\perp }\left(AMN\right)$.
Chứng minh 3 điểm $A$, $H$, $I$ thẳng hàng:
Vì các tam giác $\mathrm{\Delta }IMB$, $\mathrm{\Delta }JIB$ cân tại $M$ và $I$ nên $\widehat{MIB}=\widehat{MBI}$ và $\widehat{JIB}=\widehat{JBI}$
$\Rightarrow \widehat{MIB}+\widehat{JIB}=\widehat{MBI}+\widehat{JBI}=\widehat{MBJ}={90}^{\circ }$ (Vì $Bu\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$.
$\Rightarrow \widehat{MIJ}={90}^{\circ }\Rightarrow JI\mathrm{\perp }MN$
Mà $JH\mathrm{\perp }\left(AMN\right)$, do đó theo định lí ba đường vuông góc suy ra $HI\mathrm{\perp }MN$.
Ta có $\{\begin{array}{rl}& HI\mathrm{\perp }MN\\ & AH\mathrm{\perp }MN\end{array}$ suy ra ba điểm $A$, $H$, $I$ thẳng hàng.
Ta có $HI$ là hình chiếu vuông góc của $JI$ lên mặt phẳng $\left(AMN\right)$, mà

Ta nhận thấy tam giác $ABC$ đều cạnh $a=\sqrt{2}\Rightarrow AJ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a$.
Ta có $\mathrm{\Delta }ABJ=\mathrm{\Delta }AIJ\Rightarrow AB=AI=a$ và $AH={\displaystyle \frac{A{J}^2}{AI}}={\displaystyle \frac{3a}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{AH}{AI}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow \overrightarrow{AH}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{AI}$. Vậy $H$ là ảnh của $I$ qua phép vị tự tâm $A$, tỉ số ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Ta có bán kính của đường tròn $\left(C\right)$ là
$R={\displaystyle \frac{3}{4}}BJ={\displaystyle \frac{3}{4}}.{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{8}}$.